Hoe bereken ik de tijd bij radioactief verval?

Om de verstreken tijd ($t$) bij radioactief verval te berekenen, gebruik je de formule voor radioactief verval en bouw je deze om. De basisformule, vaak gebruikt voor activiteit ($A$) of het aantal kernen ($N$), is:

$A_t = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

Hierin is:

• $A_t$ de activiteit op tijd $t$ (de activiteit die na een bepaalde tijd over is).
• $A_0$ de beginactiviteit (de oorspronkelijke activiteit op tijd $t=0$).
• $t$ de totale verstreken tijd die je wilt berekenen.
• $T_{\frac{1}{2}}$ de halveringstijd van de stof (de tijd waarin de helft van de oorspronkelijke activiteit vervalt).

Om de tijd ($t$) te berekenen, moet je de formule ombouwen. Dit doe je met behulp van logaritmes:

1. Deel beide kanten door $A_0$: $\frac{A_t}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

2. Neem de natuurlijke logaritme ($\ln$) van beide kanten: $\ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\right)$

3. Pas de logaritme-regel toe ($\ln(x^y) = y \cdot \ln(x)$) om de exponent naar beneden te halen: $\ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = \frac{t}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

4. Isoleer $t$ door beide kanten te vermenigvuldigen met $T_{\frac{1}{2}}$ en te delen door $\ln\left(\frac{1}{2}\right)$: $t = T_{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}$

Je kunt ook gebruiken dat $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$. De formule wordt dan: $t = T_{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right)}{-\ln(2)}$

Voorbeeld: Berekenen van de tijd voor een onbekende stof Stel, je hebt een radioactieve stof met een halveringstijd ($T_{\frac{1}{2}}$) van 5,0 uur. De beginactiviteit ($A_0$) was 1000 Bq en de huidige activiteit ($A_t$) is 125 Bq. Je wilt weten hoeveel tijd er is verstreken.

1. Gegevens noteren:

   • $T_{\frac{1}{2}} = 5,0$ uur
   • $A_0 = 1000$ Bq
   • $A_t = 125$ Bq

2. Vul de waarden in de omgebouwde formule in: $t = 5,0 \text{ uur} \cdot \frac{\ln\left(\frac{125 \text{ Bq}}{1000 \text{ Bq}}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}$

3. Bereken de verhouding en de logaritmes: $\frac{125}{1000} = 0,125$ $\ln(0,125) \approx -2,079$ $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(0,5) \approx -0,693$

4. Voer de berekening uit: $t = 5,0 \text{ uur} \cdot \frac{-2,079}{-0,693}$ $t = 5,0 \text{ uur} \cdot 3$ $t = 15,0 \text{ uur}$

Er is dus 15,0 uur verstreken. Dit klopt, want na 5 uur is de activiteit 500 Bq, na 10 uur is het 250 Bq, en na 15 uur is het 125 Bq (drie halveringen).