Het onderscheid tussen een directe formule en een somformule (Sn of sigma-notatie) bij rijen zit in wat je ermee wilt berekenen:
-
Directe formule (of expliciete formule): Deze gebruik je om de waarde van een specifieke term in een rij te vinden, zonder dat je alle voorgaande termen hoeft te berekenen. Je vult het rangnummer van de term in en krijgt direct de waarde van die term.
- Voorbeeld: Voor een rekenkundige rij die begint bij U0 met een constant verschil a, is de directe formule U(n)=a⋅n+U(0). Als je de 10e term wilt weten, vul je n=10 in.
-
Somformule (Sn) of sigma-notatie (Σ): Deze gebruik je om de som van een reeks termen in een rij te berekenen. Dit is de totale waarde wanneer je een aantal opeenvolgende termen bij elkaar optelt.
- Voorbeeld: Als je de som van de eerste 3 termen van een rij 2,4,6,8,… wilt weten, bereken je S3=U1+U2+U3=2+4+6=12.
Wanneer gebruik je welke?
- Gebruik een directe formule als de vraag is: "Wat is de waarde van de 15e term?" of "Welk getal staat op de 20e plaats in deze rij?".
- Gebruik een somformule (Sn) of sigma-notatie als de vraag is: "Wat is de totale som van de eerste 10 termen?" of "Bereken de som van deze reeks getallen."
Sigma-notatie (Σ) voor sommatie
De sigma-notatie is een compacte manier om een som van termen weer te geven:
∑k=startwaardeeindwaardeuk
Hierbij is:
- Σ (sigma): Het symbool voor sommatie.
- k: De index, een variabele die aangeeft welke term je optelt.
- startwaarde: De waarde waarmee de index k begint (bijvoorbeeld 0 of 1).
- eindwaarde: De waarde waarbij de index k stopt.
- uk: De algemene term van de rij, die beschrijft hoe je elke term in de som berekent.
Voorbeeld: Som van een meetkundige rij berekenen
Stel, je moet de som berekenen van de reeks: 768+384+192+96+⋯+3.
-
Bepaal het type rij en de algemene term (uk):
Elke term is de helft van de vorige term (384/768=0.5). Dit is een meetkundige rij met reden r=0.5. De eerste term is u0=768.
De algemene formule voor een meetkundige rij die begint bij u0 is uk=u0⋅rk.
Dus, voor deze rij is de algemene term:
uk=768⋅(21)k
-
Bepaal de index van de laatste term:
De laatste term is 3. We zoeken de k waarvoor uk=3:
3=768⋅(21)k
7683=(21)k
2561=(21)k
Omdat 28=256, is (21)8=2561.
Dus, k=8. De som loopt van k=0 tot en met k=8.
-
Schrijf de som in sigma-notatie:
∑k=08768⋅(21)k
-
Bereken de som:
Voor de som van een meetkundige rij van u0 tot en met un (met n=8 in dit geval) gebruiken we de formule:
Sn=r−1un+1−u0
Eerst berekenen we un+1, oftewel u9:
u9=u8⋅r=3⋅0.5=1.5
Nu vullen we de waarden in de formule in:
S8=0.5−11.5−768=−0.5−766.5=1533
De som van de rij 768+384+192+96+⋯+3 is dus 1533.
Relatie met recursieve formules
Een recursieve formule beschrijft hoe je de volgende term in een rij berekent op basis van de huidige of voorgaande term (bijvoorbeeld Un+1=Un+2 met U0=3). De Sn formule (of sigma-notatie) wordt gebruikt om de som van de termen in een rij te berekenen. Ze hebben dus verschillende functies: de recursieve formule beschrijft de opbouw van de rij, terwijl de Sn formule de totalen van die termen berekent. Je kunt wel de Sn van een rij berekenen die gedefinieerd is met een recursieve formule.
Video's en samenvattingen
Voor verdere uitleg over de somrij en de sigma-notatie kun je de video 'Rijen en Reeksen 2' en de samenvatting 'Rijen 4: Somrij met GR' bekijken. Deze behandelen onder andere de sigma-notatie, hoe je deze berekent en hoe je een somrij invoert op je grafische rekenmachine.
Wiskunde A
Wiskunde B