De somformule (Sn) en de sigma-notatie (Σ) zijn beide manieren om de som van een reeks getallen in een rij te berekenen. Ze worden gebruikt wanneer je de totale waarde van een aantal opeenvolgende termen wilt weten.
Wat is de Sn formule en wanneer gebruik je die?
De Sn formule staat voor de som van de eerste n termen van een rij. Je gebruikt deze formule altijd wanneer je de totale waarde wilt weten van een reeks getallen die bij elkaar opgeteld moeten worden.
Bijvoorbeeld, als je een rij getallen hebt zoals U1,U2,U3,…, dan is S3=U1+U2+U3.
Situaties waarin je Sn gebruikt, zijn bijvoorbeeld:
- Het berekenen van het totaal gespaarde bedrag na een aantal maanden.
- Het bepalen van de totale afstand die een object heeft afgelegd na een bepaalde tijd.
- Het oplossen van opdrachten waarbij gevraagd wordt om de som van een reeks getallen te berekenen.
Wat is de sigma-notatie en hoe gebruik je die?
De sigma-notatie (Σ) is een compacte manier om een som van termen in een rij weer te geven. De notatie ziet er zo uit:
∑k=startwaardeeindwaardeuk
Hierbij geldt:
- Σ (sigma): Dit is het symbool voor sommatie.
- k: Dit is de index, een variabele die aangeeft welke term je optelt.
- startwaarde: Dit is de waarde waarmee de index k begint (bijvoorbeeld 0 of 1).
- eindwaarde: Dit is de waarde waarbij de index k stopt.
- uk: Dit is de algemene term van de rij, die beschrijft hoe je elke term in de som berekent.
Voorbeeld van gebruik:
Stel, je moet de som van de rij 768+384+192+96+⋯+3 opschrijven met de sigma-notatie en berekenen.
-
Bepaal de algemene term (uk):
Deze rij is een meetkundige rij, omdat elke term de helft is van de vorige term (de reden r=0.5). De eerste term is u0=768.
De algemene formule voor een meetkundige rij die begint bij u0 is uk=u0⋅rk.
Dus, voor deze rij is de algemene term:
uk=768⋅(21)k
-
Bepaal de index van de laatste term:
De laatste term in de som is 3. We zoeken de k waarvoor geldt:
3=768⋅(21)k
7683=(21)k
2561=(21)k
Omdat 28=256, is (21)8=2561.
Dus, k=8. De som loopt van k=0 tot en met k=8.
-
Schrijf de som in sigma-notatie:
∑k=08768⋅(21)k
-
Bereken de som:
Voor de som van een meetkundige rij van u0 tot en met un (waarbij n de index van de laatste term is) gebruiken we de formule:
Sn=r−1un+1−u0
In dit voorbeeld is n=8, u0=768 en r=0.5.
We berekenen eerst un+1, oftewel u9:
u9=u8⋅r=3⋅0.5=1.5
Nu vullen we de waarden in de formule in:
S8=0.5−11.5−768=−0.5−766.5=1533
De som van de rij 768+384+192+96+⋯+3 is dus 1533.
Verschil met andere formules:
- Een directe formule voor een rij (bijvoorbeeld U(n)=a⋅n+U(0) voor een rekenkundige rij) gebruik je om de waarde van een specifieke term in de rij te vinden, zonder dat je alle voorgaande termen hoeft uit te rekenen.
- Een recursieve formule beschrijft hoe je de volgende term in een rij berekent op basis van de huidige of voorgaande term (bijvoorbeeld Un+1=Un+2 met U0=3). De Sn formule hoort hier niet direct "bij" in de zin dat het een onderdeel is, maar je kunt wel de som van een rij berekenen die gedefinieerd is met een recursieve formule.
Waar vind ik meer informatie?
Op JoJoschool.nl zijn video's en samenvattingen beschikbaar die de somrij en de sigma-notatie uitleggen. Je kunt hiervoor de video 'Rijen en Reeksen 2' bekijken, die onder andere de sigma-notatie en het berekenen ervan behandelt. Daarnaast is er een samenvatting 'Rijen 4: Somrij met GR' die uitlegt wat een somrij is, hoe de sigma-notatie werkt en hoe je een somrij invoert op je grafische rekenmachine.
Wiskunde A
Wiskunde B