Hoe stel ik een exponentiële formule op?

Om een exponentiële formule op te stellen, gebruik je de algemene vorm:

$y = b \cdot g^x$

Hierin staat:

• $y$ voor de uitkomst (de afhankelijke variabele).
• $b$ voor het begingetal, oftewel de waarde van $y$ wanneer $x=0$.
• $g$ voor de groeifactor per tijdseenheid.
• $x$ voor de exponent, vaak de tijd (de onafhankelijke variabele).

Om de specifieke formule voor een situatie op te stellen, moet je de waarden van $b$ (het begingetal) en $g$ (de groeifactor) vinden.

Er zijn twee veelvoorkomende manieren om een exponentiële formule op te stellen:

1. Met een begingetal en een percentage (of groeifactor)

Voorbeeld: Je hebt €145 op een spaarrekening en je krijgt elk jaar 2,5% rente.

1. Bepaal het begingetal ($b$): Dit is het bedrag waarmee je begint.
   • In dit voorbeeld is $b = 145$.
2. Bereken de groeifactor ($g$): Als je een percentage toename hebt, bereken je de groeifactor door het percentage te delen door 100 en dit bij 1 op te tellen.
   • 2,5% rente betekent een toename van 0,025. De groeifactor is dan $1 + 0,025 = 1,025$.
   • Als het een afname is (bijvoorbeeld 10% afname), dan is de groeifactor $1 - 0,10 = 0,90$.
3. Stel de formule op: Vul $b$ en $g$ in de algemene formule in.
   • De formule wordt: $Y = 145 \cdot 1,025^t$ (waarbij $t$ het aantal jaren is).

Toepassing: Als je wilt weten hoeveel geld er na 8 jaar op de rekening staat, vul je $t=8$ in: $Y = 145 \cdot 1,025^8 \approx 145 \cdot 1,2184 \approx 176,67$ Na 8 jaar staat er ongeveer €176,67 op de rekening.

Waarom groeit het bedrag steeds sneller? Bij exponentiële groei wordt de groeifactor (in dit geval 1,025) elk jaar toegepast op het bedrag dat op dat moment op de rekening staat, niet op het oorspronkelijke startbedrag. Omdat het bedrag op de rekening elk jaar groter wordt, wordt de absolute toename (de rente in euro's) ook elk jaar groter, zelfs al blijft het percentage (de groeifactor) constant.

2. Met twee gegeven punten

Voorbeeld: Een exponentiële functie gaat door de punten (2, 12) en (4, 108).

1. Vul de punten in de algemene formule in:
   • Voor punt (2, 12): $12 = b \cdot g^2$ (Vergelijking 1)
   • Voor punt (4, 108): $108 = b \cdot g^4$ (Vergelijking 2)
2. Deel de twee vergelijkingen door elkaar om $g$ te vinden:
   • $\frac{108}{12} = \frac{b \cdot g^4}{b \cdot g^2}$
   • $9 = g^{4-2}$
   • $9 = g^2$
   • Om $g$ te vinden, neem je de wortel van 9: $g = \sqrt{9} = 3$ (De groeifactor is altijd positief).
3. Vul de gevonden $g$ in één van de oorspronkelijke vergelijkingen in om $b$ te vinden:
   • Gebruik Vergelijking 1: $12 = b \cdot 3^2$
   • $12 = b \cdot 9$
   • $b = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \approx 1,333$
4. Stel de uiteindelijke formule op:
   • De formule wordt: $Y = 1,333 \cdot 3^x$