Hoe stel ik een exponentiële formule op met twee punten?

Om een exponentiële formule van de vorm $y = b \cdot g^x$ op te stellen met twee gegeven punten, volg je de volgende stappen:

Stap 1: Vul de punten in de algemene formule in De algemene vorm van een exponentiële formule is $y = b \cdot g^x$, waarbij $b$ de beginwaarde is (de waarde van $y$ als $x=0$) en $g$ de groeifactor. Stel je hebt de punten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$. Vul deze punten in de formule in om twee vergelijkingen te krijgen:

1. $y_1 = b \cdot g^{x_1}$
2. $y_2 = b \cdot g^{x_2}$

Voorbeeld: Stel de exponentiële functie gaat door de punten (2, 12) en (4, 108).

1. Vul (2, 12) in: $12 = b \cdot g^2$
2. Vul (4, 108) in: $108 = b \cdot g^4$

Stap 2: Bereken de groeifactor ($g$) Deel de tweede vergelijking door de eerste vergelijking om $b$ te elimineren en $g$ te vinden. $\frac{y_2}{y_1} = \frac{b \cdot g^{x_2}}{b \cdot g^{x_1}}$ $\frac{y_2}{y_1} = g^{x_2 - x_1}$

Voorbeeld: Deel de tweede vergelijking ($108 = b \cdot g^4$) door de eerste vergelijking ($12 = b \cdot g^2$): $\frac{108}{12} = \frac{b \cdot g^4}{b \cdot g^2}$ $9 = g^{4-2}$ $9 = g^2$ Om $g$ te vinden, neem je de wortel van 9: $g = \sqrt{9} = 3$ (De groeifactor is altijd positief, dus we nemen de positieve wortel.)

Stap 3: Bereken de beginwaarde ($b$) Vul de gevonden groeifactor ($g$) en één van de oorspronkelijke punten in een van de vergelijkingen uit Stap 1 in om $b$ te berekenen.

Voorbeeld: Gebruik $g=3$ en het punt (2, 12) in de vergelijking $12 = b \cdot g^2$: $12 = b \cdot 3^2$ $12 = b \cdot 9$ Om $b$ te vinden, deel je 12 door 9: $b = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \approx 1,333$

Stap 4: Stel de volledige formule op Nu je zowel de beginwaarde ($b$) als de groeifactor ($g$) hebt, kun je de volledige exponentiële formule opschrijven.

Voorbeeld: Met $b = 1,333$ en $g = 3$ is de formule: $y = 1,333 \cdot 3^x$