Hoe bereken je extreme waarden van een functie?

Het berekenen van extreme waarden van een functie, zoals maxima (hoogste punten) en minima (laagste punten), is een belangrijke toepassing van differentiaalrekening. De helling van de grafiek is op deze punten altijd nul.

Hier is een algemeen stappenplan om extreme waarden algebraïsch te berekenen:

1. Bereken de afgeleide van de functie ($f'(x)$).

   • De afgeleide geeft de helling van de grafiek op elk punt. Voor extreme waarden is de helling nul.
   • Voorbeeld: Gegeven de functie $g(x) = \frac{1}{5}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 3\frac{3}{5}x - 12$. De afgeleide is $g'(x) = \frac{3}{5}x^2 - 3x - 3\frac{3}{5}$.

2. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los de vergelijking op voor $x$.

   • De oplossingen van $f'(x) = 0$ zijn de $x$-waarden waar de extreme waarden zich bevinden.
   • Voorbeeld: Stel $g'(x) = 0$: $\frac{3}{5}x^2 - 3x - 3\frac{3}{5} = 0$ Om de breuken weg te werken, vermenigvuldig je de hele vergelijking met $5$: $3x^2 - 15x - 18 = 0$ Vereenvoudig door te delen door $3$: $x^2 - 5x - 6 = 0$ Los deze kwadratische vergelijking op (bijvoorbeeld met de som-product-methode of de ABC-formule). We zoeken twee getallen die vermenigvuldigd $-6$ zijn en opgeteld $-5$. Dit zijn $-6$ en $+1$. $(x-6)(x+1) = 0$ Hieruit volgen de $x$-waarden: $x=6$ of $x=-1$.

3. Bereken de bijbehorende $y$-coördinaten.

   • Vul de gevonden $x$-waarden in de oorspronkelijke functie ($f(x)$) in om de $y$-coördinaten van de extreme punten te vinden.

   • Voorbeeld: Voor $x=6$: $g(6) = \frac{1}{5}(6)^3 - \frac{3}{2}(6)^2 - 3\frac{3}{5}(6) - 12$ $g(6) = \frac{1}{5}(216) - \frac{3}{2}(36) - \frac{18}{5}(6) - 12$ $g(6) = 43\frac{1}{5} - 54 - 21\frac{3}{5} - 12 = -44\frac{2}{5}$ Het punt is $(6, -44\frac{2}{5})$.

     Voor $x=-1$: $g(-1) = \frac{1}{5}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 - 3\frac{3}{5}(-1) - 12$ $g(-1) = \frac{1}{5}(-1) - \frac{3}{2}(1) - \frac{18}{5}(-1) - 12$ $g(-1) = -\frac{1}{5} - \frac{3}{2} + \frac{18}{5} - 12 = -10\frac{1}{10}$ Het punt is $(-1, -10\frac{1}{10})$.

4. Bepaal of het een maximum of een minimum is.

   • Vergelijk de $y$-waarden van de extreme punten. Het punt met de hoogste $y$-waarde is een maximum, en het punt met de laagste $y$-waarde is een minimum. Je kunt dit ook bepalen met een tekenschema van de afgeleide of de tweede afgeleide.
   • Voorbeeld: Vergelijk $y = -44\frac{2}{5}$ en $y = -10\frac{1}{10}$. Omdat $-44\frac{2}{5}$ lager is dan $-10\frac{1}{10}$: Het punt $(6, -44\frac{2}{5})$ is een minimum. Het punt $(-1, -10\frac{1}{10})$ is een maximum.

Door deze stappen te volgen, kun je de extreme waarden van een functie algebraïsch berekenen.