Hoe bereken ik termen van een somrij en vind ik waarden met een grafische rekenmachine?

Question

JoJoschool · Accepted Answer

Het berekenen van termen van een rij ($u_n$) en de bijbehorende somrij ($S_n$) met een grafische rekenmachine (GR) is een efficiënte methode, vooral bij recursieve formules of wanneer je snel veel termen wilt bekijken. Hieronder vind je de stappen, specifiek voor de Casio GR (zoals de FX-CG50), maar de principes zijn vergelijkbaar voor andere modellen.

Een somrij $S_n$ is de som van de termen van een rij $u_k$ vanaf een startwaarde (vaak $k=0$ of $k=1$) tot en met $n$. De recursieve formule voor een somrij is altijd $S_n = S_{n-1} + u_n$, met $S_0 = u_0$ (of $S_1 = u_1$ als de rij bij $n=1$ begint).

**Stappen voor het berekenen van termen en sommen met de Casio GR:**

1.  **Ga naar het RECUR-menu:**
    *   Druk op de `MENU`-knop en selecteer optie **8 (RECUR)**.

2.  **Voer de recursieve formule van de rij ($u_n$) in:**
    *   Druk op **F3 (TYPE)** om het type formule in te stellen. Voor recursieve formules kies je meestal een optie zoals $a_n$ of $a_{n+1}$.
    *   **Belangrijk:** De Casio GR gebruikt vaak $a_n$ voor de vorige term en $a_{n+1}$ voor de huidige term. Dit betekent dat je de indices in je formule moet aanpassen.
        *   Als je bijvoorbeeld de formule $u_n = 2 \cdot u_{n-1} - 5$ hebt, en je kiest de optie $a_{n+1}$, dan voer je in: `a_{n+1} = 2 * a_n - 5`.
        *   Als je de optie $a_n$ kiest, dan voer je in: `a_n = 2 * a_{n-1} - 5`.
    *   Voor expliciete formules (bijvoorbeeld $u_n = 5+3n$):
        *   Als je de optie $a_n$ kiest, voer je `a_n = 5 + 3n` in.
        *   Als je de optie $a_{n+1}$ kiest, voer je `a_{n+1} = 5 + 3(n+1)` in.

3.  **Stel de beginterm(en) en het bereik in:**
    *   Druk op **F5 (SET)**.
    *   Stel de startwaarde van $n$ in (bijvoorbeeld `nStart = 0` of `nStart = 1`).
    *   Voer de waarde van de beginterm in (bijvoorbeeld `a0 = 10` of `a1 = ...`).
    *   Stel de eindwaarde van $n$ in (`nEnd`) op een voldoende hoge waarde om de gewenste termen te kunnen bekijken.

4.  **Zet de somweergave aan:**
    *   Druk op `SHIFT` gevolgd door `MENU` (SETUP).
    *   Scroll naar de optie **$\Sigma$Display** en zet deze op **On**. Dit zorgt ervoor dat de GR een kolom voor de somrij ($S_n$) weergeeft.

5.  **Bekijk de tabel:**
    *   Druk op **F6 (TABLE)**.
    *   Je ziet nu een tabel met kolommen voor $n$, $a_n$ (jouw $u_n$) en $\Sigma a_n$ (jouw $S_n$).
    *   Scroll door de tabel om de gewenste termen van $u_n$ of $S_n$ af te lezen.

**Voorbeeld: Berekenen van $S_8$ en vinden van $n$ wanneer $S_n > 25000$**

Stel, je hebt de rij $u_n = 2 \cdot u_{n-1} - 5$ met $u_0 = 10$.

**a. De recursieve formule van $S_n$:**
De algemene recursieve formule voor een somrij $S_n$ is $S_n = S_{n-1} + u_n$.
Met $u_0 = 10$ is de beginterm van de somrij $S_0 = u_0 = 10$.
Dus: $S_n = S_{n-1} + u_n$ met $S_0 = 10$.

**b. Bereken $S_8$ met de GR:**

1.  **Ga naar Menu 8 (RECUR).**
2.  **Voer de formule van $u_n$ in:** Druk op **F3 (TYPE)** en kies bijvoorbeeld de optie $a_{n+1}$. Voer dan in: `a_{n+1} = 2 * a_n - 5`.
3.  **Stel de beginterm en het bereik in:** Druk op **F5 (SET)**.
    *   Zorg dat `nStart = 0`.
    *   Voer bij `a0 = 10` in.
    *   Stel `nEnd` in op minimaal 8 (bijvoorbeeld 10 of 15).
4.  **Zet de somweergave aan:** `SHIFT` + `MENU` (SETUP), zet `$\Sigma$Display` op `On`.
5.  **Bekijk de tabel:** Druk op **F6 (TABLE)**.
    *   Scroll naar $n=8$. In de kolom `$\Sigma a_n$` lees je de waarde van $S_8$ af.
    *   Je zult vinden dat $S_8 = 2600$.

**c. Vanaf welke $n$ is de som van $u_k$ van $k=0$ tot en met $N > 25000$?**

Gebruik dezelfde instellingen als bij deel b.

1.  **Bekijk de tabel:** Druk op **F6 (TABLE)**.
2.  **Scroll door de tabel:** Zoek in de kolom `$\Sigma a_n$` naar de eerste waarde die groter is dan 25000.
    *   Je zult zien dat:
        *   $S_{10} = 10225$
        *   $S_{11} = 20460$
        *   $S_{12} = 40935$
    *   De som is dus vanaf $n=12$ groter dan 25000.

Door deze stappen te volgen, kun je snel en nauwkeurig termen van rijen en somrijen berekenen en analyseren met je grafische rekenmachine.

Hoe bereken ik termen van een somrij en vind ik waarden met een grafische rekenmachine?

Hoe bereken ik termen van een somrij en vind ik waarden met een grafische rekenmachine?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerde vragen