Hoe bepaal je een maximum met behulp van de afgeleide?

Om een maximum van een functie te bepalen met behulp van de afgeleide, volg je een aantal stappen. De afgeleide van een functie geeft de helling van de raaklijn aan elk punt van die functie. Op het punt waar een functie een maximum (of minimum) bereikt, is de helling van de raaklijn horizontaal, wat betekent dat de afgeleide gelijk is aan nul.

Hier zijn de algemene stappen:

Stap 1: Stel de functie op waarvan je het maximum wilt bepalen

Zorg ervoor dat je de functie hebt opgesteld die je wilt maximaliseren. Deze functie drukt de grootheid uit die je maximaal wilt maken (bijvoorbeeld oppervlakte, winst, omzet) in termen van één variabele.

Voorbeeld: Stel dat de oppervlakte $O$ van een stuk land wordt gegeven door de formule: $O = -x^2 + 82x + 1344$

Stap 2: Bepaal de eerste afgeleide van de functie

Bereken de afgeleide van de functie die je in Stap 1 hebt opgesteld. De afgeleide van een term $ax^n$ is $n \cdot ax^{n-1}$. De afgeleide van een constante is 0.

Voorbeeld (vervolg): De functie is $O = -x^2 + 82x + 1344$. De afgeleide van $-x^2$ is $-2x$. De afgeleide van $82x$ is $82$. De afgeleide van $1344$ (een constante) is $0$.

Dus, de eerste afgeleide $\frac{dO}{dx}$ is: $\frac{dO}{dx} = -2x + 82$

Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op voor de variabele

De punten waar de afgeleide nul is, worden stationaire punten genoemd. Dit zijn de potentiële maxima of minima van de functie.

Voorbeeld (vervolg): Stel de afgeleide gelijk aan nul: $-2x + 82 = 0$

Los op voor $x$: $-2x = -82$ $x = \frac{-82}{-2}$ $x = 41$

Deze waarde van $x$ is de $x$-coördinaat waarbij de oppervlakte maximaal (of minimaal) is.

Stap 4: Controleer of het een maximum is

Er zijn verschillende manieren om te controleren of het gevonden stationaire punt een maximum is:

• De tweede afgeleide test: Bereken de tweede afgeleide van de functie. Als de tweede afgeleide op het stationaire punt negatief is, dan is het een maximum. Als het positief is, is het een minimum. Als het nul is, is er meer onderzoek nodig.

  • Voorbeeld (vervolg): De eerste afgeleide is $\frac{dO}{dx} = -2x + 82$. De tweede afgeleide $\frac{d^2O}{dx^2}$ is de afgeleide van $-2x + 82$, wat $-2$ is. Omdat $-2$ negatief is, bevestigt dit dat $x=41$ inderdaad een maximum is.

• Analyse van de functie: Kijk naar de vorm van de functie. Als het een kwadratische functie is van de vorm $ax^2 + bx + c$ en $a < 0$ (zoals in ons voorbeeld $O = -x^2 + 82x + 1344$, waarbij $a = -1$), dan is de grafiek een bergparabool. Een bergparabool heeft altijd een maximum in de top.

  • Visuele bevestiging (grafiek): Een schets van de grafiek kan visueel bevestigen dat het gevonden punt een maximum is. Bij een bergparabool zal de grafiek bij het gevonden $x$-punt zijn hoogste waarde bereiken. Op een examen is een schets meestal niet verplicht, tenzij de vraag er expliciet om vraagt. De correcte berekening is de kern van de oplossing.

Stap 5: Bereken de maximale waarde (indien gevraagd)

Als je de maximale waarde van de functie wilt weten, vul dan de gevonden $x$-waarde terug in de oorspronkelijke functie.

Voorbeeld (vervolg): De maximale oppervlakte is: $O = -(41)^2 + 82(41) + 1344$ $O = -1681 + 3362 + 1344$ $O = 3025$

De maximale oppervlakte is dus $3025$ vierkante meter bij $x=41$.

Door deze stappen te volgen, kun je systematisch het maximum van een functie bepalen met behulp van de afgeleide.