Hoe pas je een functieformule aan voor een grafiekverschuiving?

Wanneer je een grafiek wilt verschuiven zonder de vorm ervan te veranderen, pas je de functieformule aan. Er zijn twee hoofdtypen verschuivingen: verticale verschuivingen (omhoog of omlaag) en horizontale verschuivingen (naar links of naar rechts). De manier waarop je de formule aanpast, hangt af van de richting van de verschuiving en de plek van de variabele $x$ in de functie.

Verticale verschuivingen (omhoog of omlaag)

Verticale verschuivingen ontstaan wanneer je een constante waarde optelt of aftrekt van de hele functie. Dit heeft invloed op de $y$-coördinaten van alle punten op de grafiek.

1. Omhoog verschuiven:

   • Als je de grafiek $B$ eenheden omhoog wilt verschuiven, tel je $B$ op bij de hele functie.
   • De nieuwe functie wordt: $g(x) = f(x) + B$.
   • Voorbeeld: Als je de basisfunctie $f(x) = x^2$ 3 eenheden omhoog wilt verschuiven, wordt dit $g(x) = x^2 + 3$. De top van de parabool verschuift van $(0,0)$ naar $(0,3)$.

2. Omlaag verschuiven:

   • Als je de grafiek $B$ eenheden omlaag wilt verschuiven, trek je $B$ af van de hele functie.
   • De nieuwe functie wordt: $g(x) = f(x) - B$.
   • Voorbeeld: Als je de functie $f(x) = x^2$ 2 eenheden omlaag wilt verschuiven, wordt dit $g(x) = x^2 - 2$. De top verschuift van $(0,0)$ naar $(0,-2)$.

Horizontale verschuivingen (naar links of naar rechts)

Horizontale verschuivingen treden op wanneer je een constante waarde optelt of aftrekt binnen de functie bij de variabele $x$. Dit beïnvloedt de $x$-coördinaten en werkt vaak 'tegengesteld' aan wat je intuïtief zou verwachten. De regel is dat je de variabele $x$ vervangt door $(x-p)$ voor een verschuiving van $p$ eenheden.

1. Naar rechts verschuiven:

   • Als je de grafiek $B$ eenheden naar rechts wilt verschuiven, vervang je elke $x$ in de functie door $(x - B)$. Let op: 'naar rechts' betekent 'min'.
   • De nieuwe functie wordt: $g(x) = f(x - B)$.
   • Voorbeeld: Als je de functie $f(x) = x^2$ 5 eenheden naar rechts wilt verschuiven, wordt dit $g(x) = (x - 5)^2$. De top verschuift van $(0,0)$ naar $(5,0)$.

2. Naar links verschuiven:

   • Als je de grafiek $B$ eenheden naar links wilt verschuiven, vervang je elke $x$ in de functie door $(x + B)$. Let op: 'naar links' betekent 'plus'.
   • De nieuwe functie wordt: $g(x) = f(x + B)$.
   • Voorbeeld: Als je de functie $f(x) = x^2$ 4 eenheden naar links wilt verschuiven, wordt dit $g(x) = (x + 4)^2$. De top verschuift van $(0,0)$ naar $(-4,0)$.

Belangrijke nuance: Waar bevindt de $x$ zich in de formule?

De regel voor horizontale verschuivingen ($x$ vervangen door $x-B$ of $x+B$) geldt voor de variabele $x$ zelf, ongeacht waar deze zich in de functieformule bevindt.

• Bij kwadratische functies (waarbij $x$ het grondtal is):

  • Voor $f(x) = x^2$, wordt bij een verschuiving van 5 eenheden naar rechts: $g(x) = (x - 5)^2$. Hier wordt de $x$ in het grondtal vervangen door $(x-5)$.

• Bij exponentiële functies (waarbij $x$ de exponent is):

  • Voor $f(x) = (0,5)^x$, wordt bij een verschuiving van 1 eenheid naar rechts: $g(x) = (0,5)^{x-1}$. Hier wordt de $x$ in de exponent vervangen door $(x-1)$.

De algemene vorm van een parabool, $f(x) = a(x - p)^2 + q$, vat deze verschuivingen mooi samen. Hierbij zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. De waarde van $p$ bepaalt de horizontale verschuiving (let op het minteken in de formule) en de waarde van $q$ de verticale verschuiving.

Het is dus cruciaal om het verschil te onthouden tussen aanpassingen binnen de functie bij de $x$ (horizontale verschuivingen) en aanpassingen buiten de functie, aan de hele functie (verticale verschuivingen).