Hoe tel ik breuken met verschillende noemers op?

Om breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken, moet je ze eerst gelijknamig maken. Dit betekent dat alle breuken dezelfde noemer (het getal onder de streep) moeten krijgen. Dit doe je door de kleinste gemeenschappelijke noemer (KGN) te vinden. Soms moet je ook gemengde getallen (een heel getal met een breuk) omzetten naar een onechte breuk (waarbij de teller groter is dan de noemer) voordat je kunt beginnen.

Stappenplan voor het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers:

1. Zet gemengde getallen om naar onechte breuken (indien aanwezig):

   • Een gemengd getal zoals $2\frac{1}{5}$ zet je om door het hele getal te vermenigvuldigen met de noemer en de teller erbij op te tellen. De noemer blijft hetzelfde.
   • Voorbeeld: $2\frac{1}{5} = \frac{(2 \times 5) + 1}{5} = \frac{10 + 1}{5} = \frac{11}{5}$.

2. Vind de kleinste gemeenschappelijke noemer (KGN):

   • De KGN is het kleinste getal dat deelbaar is door alle noemers in de som.
   • Je vindt de KGN door de veelvouden van elke noemer op te schrijven totdat je het eerste getal vindt dat in alle rijtjes voorkomt.
   • Voorbeeld: Voor de noemers 5, 3 en 6:
     • Veelvouden van 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
     • Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
     • Veelvouden van 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
     • De KGN is 30.

3. Maak de breuken gelijknamig:

   • Vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met hetzelfde getal, zodat de noemer de KGN wordt.
   • Voorbeeld (met KGN 30):
     • $\frac{3}{5}$: Om van 5 naar 30 te gaan, vermenigvuldig je met 6. Dus $\frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$.
     • $\frac{2}{3}$: Om van 3 naar 30 te gaan, vermenigvuldig je met 10. Dus $\frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}$.
     • $\frac{1}{6}$: Om van 6 naar 30 te gaan, vermenigvuldig je met 5. Dus $\frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$.

4. Tel de tellers op of trek ze af:

   • Nu alle breuken dezelfde noemer hebben, kun je de tellers bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. De noemer blijft hetzelfde.
   • Volg de volgorde van de bewerkingen (van links naar rechts).

5. Vereenvoudig de uitkomst (indien mogelijk):

   • Als de uitkomst een onechte breuk is, kun je deze omzetten naar een gemengd getal.
   • Vereenvoudig de breuk door de teller en de noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler.

Voorbeelden:

1. Optellen van breuken met verschillende noemers: Bereken: $\frac{3}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

• Stap 1: Geen gemengde getallen.
• Stap 2: KGN van 5, 3 en 6 is 30.
• Stap 3: Maak de breuken gelijknamig:
  • $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$
  • $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}$
  • $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$
• Stap 4: Tel de tellers op:
  • $\frac{18}{30} + \frac{20}{30} + \frac{5}{30} = \frac{18 + 20 + 5}{30} = \frac{43}{30}$
• Stap 5: Vereenvoudig de uitkomst:
  • $\frac{43}{30}$ kan worden geschreven als een gemengd getal: $1\frac{13}{30}$ (want $43 \div 30 = 1$ met rest 13).

2. Optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers en een gemengd getal: Bereken: $2\frac{1}{5} - \frac{3}{4} + \frac{7}{10}$

• Stap 1: Zet het gemengde getal om:
  • $2\frac{1}{5} = \frac{(2 \times 5) + 1}{5} = \frac{11}{5}$
  • De som wordt: $\frac{11}{5} - \frac{3}{4} + \frac{7}{10}$
• Stap 2: KGN van 5, 4 en 10 is 20.
  • Veelvouden van 5: 5, 10, 15, 20, ...
  • Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16, 20, ...
  • Veelvouden van 10: 10, 20, ...
• Stap 3: Maak de breuken gelijknamig:
  • $\frac{11}{5} = \frac{11 \times 4}{5 \times 4} = \frac{44}{20}$
  • $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$
  • $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 2}{10 \times 2} = \frac{14}{20}$
• Stap 4: Voer de bewerkingen uit op de tellers (van links naar rechts):
  • $\frac{44}{20} - \frac{15}{20} + \frac{14}{20}$
  • Eerst aftrekken: $\frac{44 - 15}{20} = \frac{29}{20}$
  • Dan optellen: $\frac{29}{20} + \frac{14}{20} = \frac{29 + 14}{20} = \frac{43}{20}$
• Stap 5: Vereenvoudig de uitkomst:
  • $\frac{43}{20}$ kan worden geschreven als een gemengd getal: $2\frac{3}{20}$ (want $43 \div 20 = 2$ met rest 3).