Hoe tel je breuken met hele getallen op?

Het optellen van breuken is een belangrijke vaardigheid in de wiskunde. De manier waarop je breuken optelt, hangt af van of de breuken dezelfde noemer (het getal onder de streep) hebben of niet. Als je breuken met hele getallen (gemengde getallen) wilt optellen, is de eerste stap om deze om te zetten naar onechte breuken.

1. Breuken optellen met dezelfde noemer: Als breuken dezelfde noemer hebben, is het optellen heel eenvoudig: je telt alleen de tellers (de getallen boven de streep) bij elkaar op en de noemer blijft hetzelfde.

• Voorbeeld: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$

2. Breuken optellen met verschillende noemers (inclusief breuken met hele getallen): Als breuken verschillende noemers hebben, of als er hele getallen bij de breuken staan, moet je ze eerst 'gelijknamig' maken. Dit betekent dat je ervoor zorgt dat alle breuken dezelfde noemer krijgen. Dit doe je door de kleinste gemeenschappelijke noemer (KGN) te vinden.

Stappenplan voor het optellen van breuken met verschillende noemers of hele getallen:

1. Zet gemengde getallen om naar onechte breuken (indien aanwezig):

   • Een gemengd getal, zoals $2\frac{1}{5}$, zet je om door het hele getal te vermenigvuldigen met de noemer en de teller erbij op te tellen. De noemer blijft hetzelfde. Dit wordt ook wel 'helen in de breuk brengen' genoemd.
   • Voorbeeld: $2\frac{3}{5} = \frac{(2 \times 5) + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}$.
   • Voorbeeld: $1\frac{4}{7} = \frac{(1 \times 7) + 4}{7} = \frac{7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$.
   • Als je bijvoorbeeld $2\frac{3}{5} + 1\frac{4}{7}$ wilt optellen, begin je met het omzetten van beide gemengde getallen: $\frac{13}{5} + \frac{11}{7}$

2. Vind de kleinste gemeenschappelijke noemer (KGN):

   • De KGN is het kleinste getal dat deelbaar is door alle noemers in de som.
   • Je vindt de KGN door de veelvouden van elke noemer op te schrijven totdat je het eerste getal vindt dat in alle rijtjes voorkomt.
   • Voorbeeld: Voor de noemers 5 en 7 (uit het voorbeeld $\frac{13}{5} + \frac{11}{7}$):
     • Veelvouden van 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
     • Veelvouden van 7: 7, 14, 21, 28, 35, ...
     • De KGN is 35.
   • Algemeen voorbeeld: Voor de noemers 5, 3 en 6:
     • Veelvouden van 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
     • Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
     • Veelvouden van 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
     • De KGN is 30.
   • Voorbeeld met variabelen: Voor de noemers $2a$ en $5a$:
     • Veelvouden van $2a$: $2a, 4a, 6a, 8a, **10a**, ...$
     • Veelvouden van $5a$: $5a, **10a**, 15a, ...$
     • De KGN is $10a$.
   • Voorbeeld met verschillende variabelen: Voor de noemers $x$ en $y$:
     • De KGN is $xy$.

3. Maak de breuken gelijknamig:

   • Vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met hetzelfde getal, zodat de noemer de KGN wordt.
   • Voorbeeld (met KGN 35 voor $\frac{13}{5} + \frac{11}{7}$):
     • $\frac{13}{5}$: Om van 5 naar 35 te gaan, vermenigvuldig je met 7. Dus $\frac{13 \times 7}{5 \times 7} = \frac{91}{35}$.
     • $\frac{11}{7}$: Om van 7 naar 35 te gaan, vermenigvuldig je met 5. Dus $\frac{11 \times 5}{7 \times 5} = \frac{55}{35}$.
   • Algemeen voorbeeld (met KGN 30):
     • $\frac{3}{5}$: Om van 5 naar 30 te gaan, vermenigvuldig je met 6. Dus $\frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$.
     • $\frac{2}{3}$: Om van 3 naar 30 te gaan, vermenigvuldig je met 10. Dus $\frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}$.
     • $\frac{1}{6}$: Om van 6 naar 30 te gaan, vermenigvuldig je met 5. Dus $\frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$.
   • Voorbeeld met variabelen (met KGN $10a$):
     • $\frac{13}{2a}$: Om van $2a$ naar $10a$ te gaan, vermenigvuldig je met 5. Dus $\frac{13 \times 5}{2a \times 5} = \frac{65}{10a}$.
     • $\frac{9}{5a}$: Om van $5a$ naar $10a$ te gaan, vermenigvuldig je met 2. Dus $\frac{9 \times 2}{5a \times 2} = \frac{18}{10a}$.
   • Voorbeeld met verschillende variabelen (met KGN $xy$):
     • $\frac{3}{x}$: Om van $x$ naar $xy$ te gaan, vermenigvuldig je met $y$. Dus $\frac{3 \times y}{x \times y} = \frac{3y}{xy}$.
     • $\frac{4}{y}$: Om van $y$ naar $xy$ te gaan, vermenigvuldig je met $x$. Dus $\frac{4 \times x}{y \times x} = \frac{4x}{xy}$.

4. Tel de tellers op of trek ze af:

   • Nu alle breuken dezelfde noemer hebben, kun je de tellers bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. De noemer blijft hetzelfde.
   • Volg de volgorde van de bewerkingen (van links naar rechts).
   • Voorbeeld (vervolg $2\frac{3}{5} + 1\frac{4}{7}$): $\frac{91}{35} + \frac{55}{35} = \frac{91 + 55}{35} = \frac{146}{35}$.
   • Algemeen voorbeeld: $\frac{18}{30} + \frac{20}{30} + \frac{5}{30} = \frac{18 + 20 + 5}{30} = \frac{43}{30}$.
   • Voorbeeld met variabelen: $\frac{65}{10a} + \frac{18}{10a} = \frac{65 + 18}{10a} = \frac{83}{10a}$.
   • Voorbeeld met verschillende variabelen (aftrekken): $\frac{3y}{xy} - \frac{4x}{xy} = \frac{3y - 4x}{xy}$.

5. Vereenvoudig de uitkomst (indien mogelijk):

   • Als de uitkomst een onechte breuk is (teller groter dan noemer), kun je deze omzetten naar een gemengd getal.
   • Vereenvoudig de breuk door de teller en de noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler.
   • Voorbeeld (vervolg $2\frac{3}{5} + 1\frac{4}{7}$): $\frac{146}{35}$ kan worden geschreven als een gemengd getal: $4\frac{6}{35}$ (want $146 \div 35 = 4$ met rest 6).
   • Algemeen voorbeeld: $\frac{43}{30}$ kan worden geschreven als een gemengd getal: $1\frac{13}{30}$ (want $43 \div 30 = 1$ met rest 13).
   • Voorbeeld met variabelen: $\frac{83}{10a}$ kan niet verder worden vereenvoudigd, omdat 83 een priemgetal is en geen gemeenschappelijke factoren heeft met $10a$.
   • Voorbeeld met verschillende variabelen: $\frac{3y - 4x}{xy}$ kan niet verder worden vereenvoudigd, tenzij $x$ of $y$ een factor is van zowel $3y$ als $4x$ (wat hier niet het geval is).

Samenvattend: De sleutel tot het optellen van breuken is ervoor zorgen dat ze dezelfde noemer hebben. Als ze die al hebben, tel je de tellers op. Zo niet, dan maak je ze gelijknamig via de KGN en pas je de tellers aan voordat je ze optelt. Bij breuken met hele getallen zet je deze eerst om naar onechte breuken.