Hoe bereken je de afstand van een punt tot een lijn met een stappenplan?

Hier is een stappenplan om de afstand van een punt tot een lijn te berekenen, inclusief een voorbeeld.

Stappenplan: Afstand van een punt tot een lijn berekenen

We gaan de afstand berekenen van punt $A(1, 11)$ tot lijn $K: 2x+8y=5$.

1. Stel de vergelijking op van de lijn $L$ die loodrecht op lijn $K$ staat en door punt $A$ gaat.

   • Als lijn $K$ de vergelijking $ax+by=c$ heeft, dan heeft een loodrechte lijn de vorm $bx-ay=d$ (of $-bx+ay=d$). Je wisselt de coëfficiënten van $x$ en $y$ om en verandert één van de tekens.
   • Voor lijn $K: 2x+8y=5$ wordt de loodrechte lijn $L$ dus $8x-2y=C$.
   • Om $C$ te vinden, vul je de coördinaten van punt $A(1, 11)$ in lijn $L$ in: $8 \times 1 - 2 \times 11 = 8 - 22 = -14$
   • De vergelijking van lijn $L$ is dus $8x-2y=-14$.

2. Bereken het snijpunt $B$ van lijn $K$ en lijn $L$.

   • Dit doe je door het stelsel van de twee vergelijkingen op te lossen: $2x + 8y = 5$ $8x - 2y = -14$
   • Je kunt bijvoorbeeld de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 4 om de $x$-termen gelijk te maken: $4 \times (2x + 8y) = 4 \times 5 \implies 8x + 32y = 20$ $8x - 2y = -14$
   • Trek de tweede vergelijking van de eerste af om $x$ te elimineren: $(8x+32y) - (8x-2y) = 20 - (-14)$ $34y = 34$ $y = 1$
   • Vul $y=1$ in een van de oorspronkelijke vergelijkingen in (bijvoorbeeld $2x+8y=5$): $2x + 8(1) = 5$ $2x + 8 = 5$ $2x = -3$ $x = -1,5$
   • Het snijpunt $B$ is dus $(-1,5, 1)$.

3. Bereken de afstand tussen punt $A$ en snijpunt $B$ met de stelling van Pythagoras.

   • De afstand tussen twee punten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$ bereken je met de formule: $d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$
   • Voor punt $A(1, 11)$ en punt $B(-1,5, 1)$: $d(A,K) = d(A,B) = \sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}$ $d(A,K) = \sqrt{(2,5)^2 + (10)^2}$ $d(A,K) = \sqrt{6,25 + 100}$ $d(A,K) = \sqrt{106,25}$ of $\sqrt{106\frac{1}{4}}$

De afstand van punt $A(1, 11)$ tot lijn $K: 2x+8y=5$ is dus $\sqrt{106\frac{1}{4}}$.