Exponentiële groei

Exponentiële groei is een wiskundig concept dat betrekking heeft op het toenemen van een hoeveelheid op een manier aangedreven door een constante groeifactor. De groeifactor is groter dan 1 in het geval van een procentuele toename en kleiner dan 1 in geval van een procentuele afname. Maar de groeifactor is nooit negatief!

Ties' bijbaan: Een toepassing van exponentiële groei

Stel je voor dat Ties, een 13-jarige jongen, een bijbaan heeft waarbij hij 3 euro per uur verdient. Elk jaar krijgt hij een loonsverhoging van 10%. Hoeveel verdient Ties per uur als hij 14 jaar oud is?

In dit geval stelt Ties' oude uurloon van 3 euro zich als 100% of de 'oud', met een groeifactor (ook wel de vermenigvuldigingsfactor genoemd) van 1. Zijn nieuwe loon is het bedrag dat hij verdient als hij 14 jaar oud is, wat equivalent is aan 110% of 'nieuw'.

Voor het berekenen van zijn nieuwe loon, passen we de rekenregel toe:\frac{\text{oud }\cdot\text{ nieuwe groei factor}}{\text{oude groei factor}}\frac{\text{oud }\cdot\text{ nieuwe groei factor}}{\text{oude groei factor}}\frac{\text{oud }\cdot\text{nieuwe groei factor}}{\text{oude groei factor}}. In dit geval wordt dit vereenvoudigd tot 3 euro maal 1,1. Ties zal dus 3,30 euro per uur verdienen als hij 14 jaar oud is.

Interessant genoeg, elke volgende verhoging wordt berekend op basis van zijn vorige loon, wat betekent dat zijn loonsverhogingen exponentieel zullen groeien met de tijd!

De formule voor exponentiële groei

De algemene formule voor exponentiële groei isN = B \cdot g^{T}, waarbij 'N' het aantal van de groeiende waarde vertegenwoordigt, 'B' de initiële waarde betekent, 'g' de groeifactor per tijdseenheid is en 'T' de referentie-tijdseenheid betekent.

Passen wij dit toe op het geval van Ties, dan zal de formule dus zijn: N (uurloon in €) = 3 (start uurloon in €) · 1,1^T (de tijd in jaren)

De waardedaling van een auto: Een ander voorbeeld van exponentiële groei

Stel je voor dat Geert een auto heeft gekocht voor 19.500 euro. Verwacht wordt dat de waarde van deze auto jaarlijks met 12,5% afneemt. Deze situatie kan ook worden vertegenwoordigd met het gebruik van de formule voor exponentiële groei.

In dit geval wordt de formule: W (Waarde in €) = 19500 (initiële waarde van de auto in €) · 0,875^T (de tijd in jaren). De groeifactor hier is lager dan 1, aangezien de groeifactor wordt berekend door 12,5% van 100% af te trekken en te delen door 100%.

Met behulp van deze formule kunnen we voorspellen hoeveel de auto waard zal zijn op een bepaald moment in de toekomst. Stel je wil weten wat de auto 2,5 jaar later waard is, vul je in T = 2,5. Het is zelfs mogelijk om te voorspellen in welk jaar de auto voor het eerst minder dan een bepaald bedrag zal kosten. Dit doe je door telkens andere waarden voor T in te vullen.