Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat natuurlijke getallen zijn.
•Je kunt uitleggen wat delers zijn.
•Je kunt de ggd en het kgv berekenen.
•Je kunt de ggd en het kgv berekenen met behulp van priemgetallen.
Natuurlijke getallen
Natuurlijke getallen zijn gehele positieve getallen en het getal nul. Het getal nul is niet positief en niet negatief.
Delers
Delers zijn natuurlijke getallen waardoor een groter getal gedeeld kan worden. De delers van het getal 12 bijvoorbeeld zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12. Het getal 5 bijvoorbeeld is geen deler van 12, want wanneer je 12 deelt door 5 is de uitkomst 2,4 en dat is een kommagetal en dus geen natuurlijk getal. De delers van een getal kunnen nooit groter zijn dan het getal zelf.
Priemgetallen
Priemgetallen zijn natuurlijke getallen met precies twee delers, namelijk het getal 1 en het getal zelf. In onderstaande tabel zien we de getallen 1 tot en met 100 waarbij de priemgetallen roodgekleurd zijn.
Dit kun je ook voor ieder getal controleren. Neem het getal 2. Deze is deelbaar door 1 en door 2, niet door een ander geheel getal en dus is het getal 2 een priemgetal. Het getal 4 daarentegen is deelbaar door 1, door 2 en door 4 en is dus geen priemgetal.
Een product van priemgetallen
Elk natuurlijk getal is te schrijven als een (uniek) product van priemfactoren. Zo kan het getal 9 ontbonden worden in priemfactoren. Hierbij kijk je eerst naar het grootste priemgetal onder 9, wat 7 is. 9 is niet deelbaar door 7, dus ga je naar het volgend priemgetal. Het volgende priemgetal is 5, maar 9 is ook niet deelbaar door 5. Dan kom je bij het getal 3, als je 9 deelt door 3 komt er 3 uit. 3 is verder niet deelbaar, behalve door zichzelf en dus weet je dat 9 ook te schrijven is als 3 · 3.
Op dezelfde manier kun je ook het getal 30 ontbinden in priemfactoren, maar dan kijkend vanaf de laagste getallen. Het laagste priemgetal waar 30 deelbaar door is, is 2. 30 gedeeld door 2 is gelijk aan 15, dus daar gaan we verder mee. 15 is niet deelbaar door 2, maar wel door 3, wat resulteert in 5. 5 is niet deelbaar door 2 of 3, maar wel door 5. Dan houden we nog 1 over, dus hebben we 30 ontbonden in priemfactoren. Het getal 30 is dus te schrijven als 2 · 3 · 5. Deze manier is efficiënter en makkelijker dan als je eerst naar grotere priemfactoren kijkt.
Grootste gemeenschappelijke deler (ggd)
Bij de grootste gemeenschappelijke deler zijn we op zoek naar een getal dat de deler is van twee gegeven getallen. Laten we als voorbeeld kijken naar de grootste gemeenschappelijke deler van 12 en 30, oftewel ggd (12, 30). Als eerste schrijven we alle delers van 12 op. Dit zijn de getallen 1, 2, 3, 4, 6 en 12. Dan schrijven we ook de delers van 30 op, namelijk 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. We zien dat de getallen 12 en 30 meerdere gemeenschappelijke delers hebben, namelijk 1, 2, 3 en 6. Het grootste getal is hier 6, dus ggd (12, 30) = 6.
We kunnen de grootste gemeenschappelijke deler ook vinden door de getallen te ontbinden in priemfactoren. Het getal 12 kunnen we ontbinden in de priemfactoren 2 · 2 · 3 en het getal 30 is te ontbinden in de priemfactoren 2 · 3 · 5. De ggd bestaat uit de gemeenschappelijke priemfactoren, in dit geval dus 2 en 3, want zowel 12 als 30 hebben deze priemgetallen als priemfactoren. Dit vermenigvuldigd met elkaar is gelijk aan 6 en dus geldt ggd (12,30) = 6.
Kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv)
Bij het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zijn we op zoek naar een getal dat van twee gegeven getallen allebei een veelvoud is. Laten we als voorbeeld weer kijken naar de getallen 12 en 30. We schrijven de veelvouden van 12 op een rijtje, 12, 24, 36, 48, 60, 72, .... Dit doen we ook voor het getal 30, dus 30, 60, 90, 120, 150. Het gaat om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en dat is in dit geval dus 60. Dus geldt er kgv (12,30) = 60.
Ook het kleinste gemeenschappelijke veelvoud is te vinden door de getallen te ontbinden in priemfactoren. We weten inmiddels dat 12 te ontbinden is in 2 · 2 · 3 en het getal 30 te ontbinden is in 2 · 3 · 5. Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 12 en 30 bepalen we dan door de priemfactoren van één getal te nemen, bijvoorbeeld 12, dus de getallen 2, 2 en 3. Dan kijk je naar de priemfactoren van het andere getal, in dit geval 30, en dan neem je de priemfactoren die je nog niet hebt, dus 5. Dan weten we dus dat kgv (12,30) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60.
