Hoe bereken je de grootste gemeenschappelijke deler (GGD) en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV)?

De grootste gemeenschappelijke deler (GGD) en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV) zijn twee belangrijke concepten in de wiskunde. Je kunt ze op verschillende manieren berekenen, maar de methode van het ontbinden in priemfactoren is vaak de meest efficiënte, vooral bij grotere getallen.

Grootste Gemeenschappelijke Deler (GGD) De GGD van twee of meer getallen is het grootste getal waardoor je al die getallen kunt delen zonder rest.

Methode: Ontbinden in priemfactoren

1. Ontbind elk getal in zijn priemfactoren. Priemfactoren zijn priemgetallen (getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf, zoals 2, 3, 5, 7, 11, ...) die, wanneer je ze met elkaar vermenigvuldigt, het oorspronkelijke getal opleveren.
2. Identificeer de gemeenschappelijke priemfactoren. Dit zijn de priemfactoren die in de ontbinding van alle getallen voorkomen.
3. Vermenigvuldig deze gemeenschappelijke priemfactoren. Elke gemeenschappelijke priemfactor neem je zo vaak mee als deze in alle ontbindingen voorkomt (de laagste macht). Het resultaat is de GGD.

Voorbeeld: Bereken de GGD van 24 en 36.

1. Ontbinden in priemfactoren:
   • $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$
   • $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$
2. Gemeenschappelijke priemfactoren:
   • De factor 2 komt in beide ontbindingen voor. In 24 komt $2^3$ voor, in 36 komt $2^2$ voor. De laagste macht die in beide voorkomt is $2^2$.
   • De factor 3 komt in beide ontbindingen voor. In 24 komt $3^1$ voor, in 36 komt $3^2$ voor. De laagste macht die in beide voorkomt is $3^1$.
3. Vermenigvuldigen:
   • GGD $(24, 36) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

Kleinste Gemeenschappelijke Veelvoud (KGV) Het KGV van twee of meer getallen is het kleinste positieve getal dat een veelvoud is van al die getallen.

Methode: Ontbinden in priemfactoren

1. Ontbind elk getal in zijn priemfactoren. (Dit is dezelfde stap als bij de GGD.)
2. Identificeer alle unieke priemfactoren. Dit zijn alle verschillende priemfactoren die in minstens één van de ontbindingen voorkomen.
3. Vermenigvuldig deze unieke priemfactoren. Elke unieke priemfactor neem je zo vaak mee als deze in één van de ontbindingen het meest voorkomt (de hoogste macht). Het resultaat is het KGV.

Voorbeeld: Bereken het KGV van 24 en 36.

1. Ontbinden in priemfactoren:
   • $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$
   • $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$
2. Alle unieke priemfactoren: De unieke priemfactoren zijn 2 en 3.
3. Vermenigvuldigen (hoogste machten):
   • De hoogste macht van 2 die voorkomt is $2^3$ (van 24).
   • De hoogste macht van 3 die voorkomt is $3^2$ (van 36).
   • KGV $(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$

Een andere methode voor KGV, vooral bij kleinere getallen, is het opschrijven van de veelvouden van elk getal totdat je het eerste gemeenschappelijke veelvoud vindt.

• Veelvouden van 24: 24, 48, 72, 96, ...
• Veelvouden van 36: 36, 72, 108, ... Het KGV is 72.

Deze methoden helpen je om de GGD en het KGV van elk stel getallen te vinden.