Leerdoelen
•Je kunt de evenwichtsstanda\left(a\right.\left(a\right)\left(a\right)\left(\right)berekenen bij een gegeven sinusoïde.
•Je kunt de amplitudeb\left(b\right.\left(b\right)\left(b\right)\left(\right)berekenen bij een gegeven sinusoïde.
•Je kunt de parameterc\left(c\right.\left(c\right)\left(c\right)\left(\right)berekenen met behulp van de periode van een sinusoïde.
•Je kunt het beginpuntd\left(d\right.\left(d\right)dbepalen bij een gegeven sinusoïde, zowel voor formules met de sinus als met de cosinus.
•Je kunt een formule van een sinusoïde opstellen in de vormy=a+b\cdot\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\sin(cx-d))y=a+b\cdot\sin(c(x-d))y=a+b\cdot si(c(x-d))y=a+b\cdot s(c(x-d))y=a+b\cdot(c(x-d))y=a+b(c(x-d))y=a+b*(c(x-d))y=a+b*s(c(x-d))y=a+b*si(c(x-d))ofy=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\cos\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot co\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot c\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\sin(c\left(x-d\right)).
•Je kunt de formule van een sinusoïde aanpassen wanneer de amplitude een negatieve waarde moet hebben.
Formule opstellen in de vormy=a+b\cdot\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\sin(c\left(x-d\right.)y=a+b\cdot\sin(c\left(x-\right.)y=a+b\cdot\sin(c\left(x-D\right.)y=a+b\cdot\sin(c\left(x-D\right))y=a+b\cdot\sin(cx-D))y=a+b\cdot\sin(c(x-D))y=a+b\cdot\sin(c(-D))y=a+b\cdot\sin(c(c-D))y=a+b\cdot\sin(c(-D))y=a+b\cdot\sin(c(X-D))y=a+b\cdot\sin((X-D))y=a+b\cdot\sin(C(X-D))y=a+b\cdot si(C(X-D))y=a+b\cdot s(C(X-D))y=a+b\cdot(C(X-D))y=a+b(C(X-D))y=a+b*(C(X-D))y=a+b*s(C(X-D))y=a+b*si(C(X-D))
Stap 1: bepaal het minimum en maximum
Bekijk de grafiek goed. Zoek de laagste en de hoogste punten van de golf.
•Het minimum (laagste punt) van de grafiek heeft een y-waarde van-2\frac12-\frac12\frac12\frac{1}{\placeholder{}}1--2-2{,}.
•Het maximum (hoogste punt) van de grafiek heeft een y-waarde van3\frac123.
Stap 2: bereken de evenwichtsstanda\left(a\right.\left(a\right)
De evenwichtsstand\left(a\right)is de horizontale lijn die precies in het midden ligt tussen het minimum en het maximum van de sinusoïde. Je kunt deze berekenen door het minimum en maximum bij elkaar op te tellen en te delen door twee.
De formule is:a=\frac{\text{maximum }+\text{ minimum}}{2}a=\frac{\text{maximum }+\text{ minimum})}{2}a=\frac{(\text{maximum }+\text{ minimum})}{2}a=\frac{(\text{maximum }+\text{ minimum})}{\placeholder{}}a=(\text{maximum }+\text{ minimum})a=(\text{maximum }+\text{ minimum})/ In ons voorbeeld:a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=\frac12a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0,a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0,5a=(\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0,5a=(3\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0,5a=(3,\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0,5a=(3,5\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-2\frac12}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-2\frac12)}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-2\frac12))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-2))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-2))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-2,))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12+(-2,5))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12(-2,5))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12-(-2,5))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3\frac12(-2,5))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{3(-2,5))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{(-2,5))}{2}=1/2=0,5a=(3,5+\frac{(-2,5))}{\placeholder{}}=1/2=0,5a=(3,5+(-2,5))=1/2=0,5a=(3,5+(-2,5))/=1/2=0,5 Dus de evenwichtsstand isy=\frac12y=yy-y.
Stap 3: bereken de amplitudeb\left(b\right.\left(b\right)
De amplitude\left(b\right)b\left(\right.\left(\right.\left(\right.b\left(\right)b\left(b\right)is de maximale uitwijking van de sinusoïde ten opzichte van de evenwichtsstand. Dit is de afstand van de evenwichtsstand tot het maximum, of van de evenwichtsstand tot het minimum. Deze afstanden zijn altijd gelijk.
De formule is:b=\text{ maximum}-\text{ evenwichtsstand} In ons voorbeeld:b=3\frac12-\frac12=3b=\frac12-\frac12=3b=\frac{1}{\placeholder{}}-\frac12=3b=1-\frac12=3b=-\frac12=3b=3-\frac12=3b=31-\frac12=3b=312-\frac12=3b=3-\frac12=3b=-\frac12=3b-\frac12=3-\frac12=3B-\frac12=3B=-\frac12=3B=3-\frac12=3B=3,-\frac12=3B=3,5-\frac12=3B=3,5-\frac{1}{\placeholder{}}=3B=3,5-1=3B=3,5-=3B=3,5-0=3B=3,5-0,=3 Dus de amplitude is.
Stap 4: berekenmet de periode
De periode is de lengte van één complete golfbeweging. Dit kun je bijvoorbeeld bepalen door de horizontale afstand tussen twee opeenvolgende maxima, of twee opeenvolgende minima, of twee opeenvolgende punten waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, te meten.
Voor dit voorbeeld kijken we naar de x-coördinaten van de maxima:
•Het ene maximum bevindt zich bijx=\frac12\pix=\frac{1}{\placeholder{}}\pix=1\pix=1{,}\pix=1{,}2\pix=1{,}\pix=1\pix=\pix=0\pix=0,\pi.
•Het volgende maximum bevindt zich bijx=1\frac12\pix=1\frac12\pix=1\frac12\pix=1\frac12\pix=\frac12\pix=\frac{1}{\placeholder{}}\pix=1\pix=1,\pi.
De periode is dus de afstand tussen deze punten:1\frac12\pi-\frac12\pi=\pi1\frac12\pi-\frac12\pi=1\pi1\frac12\pi-\frac{1}{\placeholder{}}\pi=1\pi1\frac12\pi-1\pi=1\pi1\frac12\pi-\pi=1\pi1\frac12\pi-0\pi=1\pi1\frac12\pi-0,\pi=1\pi1\frac12\pi-0,5\pi=1\pi\frac12\pi-0,5\pi=1\pi\frac{1}{\placeholder{}}\pi-0,5\pi=1\pi1\pi-0,5\pi=1\pi\pi-0,5\pi=1\pi1\pi-0,5\pi=1\pi1,\pi-0,5\pi=1\pi. De formule omte berekenen is:c=\frac{2\pi}{\text{periode}}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{\placeholder{}}c=2\pi In ons voorbeeld:c=\frac{2\pi}{\pi}=2c=\frac{2\pi}{\pi}=c=\frac{2\pi}{\pi}c=\frac{2\pi}{\placeholder{}}c=2\pic=\frac{2\pi}{}c=\frac{2\pi}{\text{p}}c=\frac{2\pi}{\text{pe}}c=\frac{2\pi}{\text{per}}c=\frac{2\pi}{\text{peri}}c=\frac{2\pi}{\text{perio}}c=\frac{2\pi}{\text{period}}c=\frac{2\pi}{\text{periode}}.
Stap 5: bepaal het beginpuntd\left(d\right.\left(d\right)\left(\right)\left(\right)
Voor een sinusfunctiey=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-D\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(-D\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left.((X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left.(C(X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left((C(X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left(*(C(X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left(*s(C(X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left(*si(C(X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left(*sin(C(X-D\right))y)=a+b\cdot\sin\left(*sin(C(X-D\right))y=a+b\cdot\sin\left(*sin(C(X-D\right))y=a+b\cdot\sin *sin(C(X-D))y=a+b\cdot si*sin(C(X-D))y=a+b\cdot s*sin(C(X-D))y=a+b\cdot *sin(C(X-D))y=a+b*sin(C(X-D))y=a+*sin(C(X-D))y=a+B*sin(C(X-D))y=+B*sin(C(X-D))y=A+B*sin(C(X-D))=A+B*sin(C(X-D))geldt (alsb>0>0) datdde x-coördinaat is van het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat.
In ons voorbeeld zien we dat dit punt een x-waarde heeft van\frac14\pi\frac{1}{\placeholder{}}\pi1\pi. Dusd=\frac14\pid=d.
Formule met
Nu we,,enhebben bepaald, kunnen we de formule opstellen:
y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))
y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac14\pi\right)\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac14\pi\right)\right.y=\frac12+3\cdot\sin\left(2(x-\frac14\pi\right.y=\frac12+3\cdot\sin\left(2(x-\frac14\pi\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2(x-\frac14\pi\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left(2(x-\frac14\pi\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2(x-\frac14\pi\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.2(x-\frac14\pi\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\frac14\pi\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\frac14\pi\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\frac14\pi\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\frac14\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\frac{1}{}\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\frac13\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\frac{1}{\placeholder{}}\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-1\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(2(x-d\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.((x-d\right))y=\frac12+3\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=\frac12+\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=\frac12+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=\frac{1}{\placeholder{}}+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=1+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))
Formule met
Soms wordt gevraagd om de formule op te stellen met een negatieve waarde voor. Wat verandert er dan?
•De evenwichtsstand\left(a\right)blijft hetzelfde.
•De grootte van de amplitude blijft hetzelfde (in ons geval), maar het plusteken voorwordt een minteken.
•De waarde vanblijft hetzelfde, omdat de periode niet verandert.
•Alleen het beginpuntverandert. Alsbij een sinusfunctie, isniet het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, maar waar deze dalend door de evenwichtsstand gaat. Dit punt ligt precies een halve periode verder dan het stijgende punt. De nieuwebereken je als volgt:d_{\text{nieuw}}=d_{\text{oud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{noud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nioud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{niou}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nio}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{ni}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nie}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nieu}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nieuw}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{o}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{ou}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\frac12\cdot\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot5\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot5*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac125*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12,5*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac{1}{\placeholder{}},5*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(1,5*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(,5*\text{periode}). In ons voorbeeld:d_{\text{nieuw}}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pi=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{n}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{ni}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{nie}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{nieu}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34d=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{n}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{ni}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{nie}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{nieu}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac{3}{\placeholder{}}\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=3\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0,\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0,7\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0,7k5\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0k,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac{1}{\placeholder{}}\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+1\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+0\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+05\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+0,j5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac{1}{\placeholder{}}\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=1\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=0\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=0,\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=0,2\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\left(\frac12\pi\right)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+\frac12\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(\frac12\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(\frac12*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(\frac{1}{\placeholder{}}*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(1*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(0*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(0,*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac14\pi+(0,5*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\frac{1}{\placeholder{}}\pi+(0,5*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=1\pi+(0,5*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=\pi+(0,5*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=0\pi+(0,5*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=0,\pi+(0,5*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pid_{nieuw}=0,2\pi+(0,5*\pi)=0,25\pi+0,5\pi=0,75\pi.
De formule wordt dan:
y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{\text{nieuw}}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-dd_{\text{nieuw}}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{n}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{ni}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{nie}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{nieu}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{nieuw}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{nieu}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{nie}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{ni}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{n}\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))yy=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))y
y=\frac12-3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac34\pi\right)\right)y=\frac123\cdot\sin\left(2\left(x-\frac34\pi\right)\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac34\pi\right)\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac{}{4}\pi\right)\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac44\pi\right)\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac{}{4}\pi\right)\right)y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac14\pi\right)\right)
Formule opstellen in de vormy=a+b\cdot\cos\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot co\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot c\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot cp\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot c\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot\left.(c(x-d\right))y=a+b\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot\left.(c(x-d\right))y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))
Het opstellen van een formule met de cosinus volgt grotendeels dezelfde stappen voor,en, maarwordt anders bepaald.
Stap 1: bepaal het minimum en maximum
In de grafiek van dit voorbeeld lezen we de volgende waarden af:
•Het minimum van de grafiek heeft een y-waarde van-\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}-1--0-0,.
•Het maximum van de grafiek heeft een y-waarde van3\frac12\frac12\frac{1}{\placeholder{}}1.
Stap 2: bereken de evenwichtsstanda\left(a\right.\left(a\right)
De formule blijft hetzelfde:a=\frac{\text{maximum }+\text{ minimum}}{2}
In dit voorbeeld:a=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac32=1\frac12aA=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac32=1\frac12A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac32=1\frac12A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac32=1A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac32=1,A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac32=1,5A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac{3}{\placeholder{}}=1,5A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=3=1,5A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=3/=1,5A=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=3/2=1,5A=\frac{3\frac12+(-\frac12))}{2}=3/2=1,5A=\frac{3\frac12+(-))}{2}=3/2=1,5A=\frac{3\frac12+(-0))}{2}=3/2=1,5A=\frac{3\frac12+(-0,))}{2}=3/2=1,5A=\frac{3\frac12+(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(\frac{3\frac12+(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3\frac{3\frac12+(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3,\frac{3\frac12+(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3,5\frac{3\frac12+(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3,5+\frac{3\frac12+(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3,5+\frac{3\frac12(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3,5+\frac{3(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3,5+\frac{(-0,5))}{2}=3/2=1,5A=(3,5+\frac{(-0,5))}{\placeholder{}}=3/2=1,5A=(3,5+(-0,5))=3/2=1,5A=(3,5+(-0,5))/=3/2=1,5A = (3,5 + (-0,5)) / 2 = 3 / 2 = 1,5A=(3,5+(-0,5))/2=3\frac12/2=1,5
Dus de evenwichtsstand isy=1\frac12y=\frac12y\frac12\frac12\frac{1}{\placeholder{}}1.
Stap 3: bereken de amplitudeb\left(b\right.\left(b\right)
De formule blijft hetzelfde:b=\text{ maximum}-\text{ evenwichtsstand}
In dit voorbeeld:b=3\frac12-1\frac12=2b=3\frac12-\frac12=2b=3\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}=2b=3\frac12-1=2b=3\frac12-1,=2b=3\frac12-1,5=2b=\frac12-1,5=2b=\frac{1}{\placeholder{}}-1,5=2b=1-1,5=2b=-1,5=2b=3-1,5=2b=3,-1,5=2
Dus de amplitude is.
Stap 4: berekenmet de periode
We bepalen de periode door de afstand tussen twee opeenvolgende maxima te meten:
•Het ene maximum bevindt zich bij.
•Het volgende maximum bevindt zich bij.
De periode is dus. De formule omte berekenen blijft:c=\frac{2\pi}{\text{periode}} In dit voorbeeld:c=\frac{2\pi}{4}=\frac12\pic=\frac{2\pi}{4}\frac12\pic=\frac{2\pi}{4}C\frac12\pic=\frac{2\pi}{4}C=\frac12\pic=\frac{2\pi}{4}C=\frac{1}{\placeholder{}}\pic=\frac{2\pi}{4}C=1\pic=\frac{2\pi}{4}C=\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pi\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pi/\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pi/4\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pi/4=\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pi/4=0\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pi/4=0,\pic=\frac{2\pi}{4}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{\text{p}}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{\text{pe}}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{\text{per}}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{\text{peri}}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{\text{perio}}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{\text{period}}C=2\pi/4=0,5\pic=\frac{2\pi}{\text{periode}}C=2\pi/4=0,5\pi Dusis\frac12\pi\frac{1}{\placeholder{}}\pi1\pi\pi0\pi0,\pi.
Stap 5: bepaal het beginpuntd\left(d\right.\left(d\right)
Voor een cosinusfunctiey=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\cos\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot co\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot c\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\sin(c\left(x-d\right))geldt (als) datde x-coördinaat is van een maximum.
In ons voorbeeld bevindt het maximum zich bij.
Dus.
Formule met
De formule wordt dan:
y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))
y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-1\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x--\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x--1\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x--\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-d\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\left(x-d\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac{1}{\placeholder{}}\left(x-d\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(1\left(x-d\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\left(x-d\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=1\frac12+2b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=1\frac12+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=\frac12+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=\frac{11}{2}+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=\frac12+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=\frac{1}{\placeholder{}}+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=1+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))
Formule met
Ook hier kan gevraagd worden om een formule metb<0<0.
•enblijven hetzelfde.
•De grootte van de amplitude blijft hetzelfde, maar het plusteken voorwordt een minteken.
•Het beginpuntverandert. Alsbij een cosinusfunctie, isniet de x-coördinaat van een maximum, maar van een minimum. Een minimum ligt precies een halve periode verder dan een maximum. De nieuwebereken je als volgt:d_{\text{nieuw}}=d_{\text{oud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{noud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nioud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{niou}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nio}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{ni}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nie}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nieu}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{\text{nieuw}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{o}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{ou}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{\text{nieuw}}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{n}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{ni}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nie}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieu}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{n}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{ni}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nie}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieu}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right)d_{nieuw}=d_{oud}+\frac12\cdot\text{ periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot\text{ periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot\text{ periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot\text{p eriode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot0\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot0,\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot0,5\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac12\cdot0,5*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac120,5*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(\frac{1}{\placeholder{}}0,5*\text{periode})d_{nieuw}=d_{oud}+(10,5*\text{periode}). In ons voorbeeld:d_{\text{nieuw}}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d_{}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d_{n}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d_{ni}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d_{nie}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d_{nieu}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d_{nieuw}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3d_{nieuw}=1+\frac12\cdot4)=1+2=3d_{nieuw}=1+(\frac12\cdot4)=1+2=3d_{nieuw}=1+(\frac124)=1+2=3d_{nieuw}=1+(\frac{1}{\placeholder{}}4)=1+2=3d_{nieuw}=1+(14)=1+2=3d_{nieuw}=1+(4)=1+2=3d_{nieuw}=1+(04)=1+2=3d_{nieuw}=1+(0,4)=1+2=3d_{nieuw}=1+(0,54)=1+2=3.
De formule wordt dan:
y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{\text{nieuw}}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{n}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{ni}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{nie}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{nieu}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{nieuw}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{nieu}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{nie}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{ni}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{n}\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))
y=1\frac12-2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-3\right))y=1\frac122\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-3\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-3\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-\right))y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-1\right))y=+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))
