Een formule van een sinusoïde opstellen

Een formule van een sinusoïde opstellen

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 06:50
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Begrippen (11)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de evenwichtsstandaberekenen bij een gegeven sinusoïde.

•Je kunt de amplitudebberekenen bij een gegeven sinusoïde.

•Je kunt de parametercberekenen met behulp van de periode van een sinusoïde.

•Je kunt het beginpuntdbepalen bij een gegeven sinusoïde, zowel voor formules met de sinus als met de cosinus.

•Je kunt een formule van een sinusoïde opstellen in de vormy=a+b\cdot\sin(c\left(x-d\right))ofy=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right)).

•Je kunt de formule van een sinusoïde aanpassen wanneer de amplitude een negatieve waarde moet hebben.

Formule opstellen in de vormy=a+b\cdot\sin(c\left(x-d\right))

Stap 1: bepaal het minimum en maximum

Bekijk de grafiek goed. Zoek de laagste en de hoogste punten van de golf.

Een sinusoïde voor de sinusfunctie
Een sinusoïde voor de sinusfunctie

•Het minimum (laagste punt) van de grafiek heeft een y-waarde van-2\frac12.

•Het maximum (hoogste punt) van de grafiek heeft een y-waarde van3\frac12.

Stap 2: bereken de evenwichtsstanda

De evenwichtsstand\left(a\right)is de horizontale lijn die precies in het midden ligt tussen het minimum en het maximum van de sinusoïde. Je kunt deze berekenen door het minimum en maximum bij elkaar op te tellen en te delen door twee.

De sinusoïde, met de evenwichtsstand als stippellijn aangegeven.
De sinusoïde, met de evenwichtsstand als stippellijn aangegeven.

De formule is:a=\frac{\text{maximum }+\text{ minimum}}{2} In ons voorbeeld:a=\frac{3\frac12+\left(-2\frac12\right)}{2}=\frac12 Dus de evenwichtsstand isy=\frac12.

Stap 3: bereken de amplitudeb

De amplitude\left(b\right)is de maximale uitwijking van de sinusoïde ten opzichte van de evenwichtsstand. Dit is de afstand van de evenwichtsstand tot het maximum, of van de evenwichtsstand tot het minimum. Deze afstanden zijn altijd gelijk.

De sinusoïde, met de amplitude als verticale afstand van de evenwichtsstand naar het maximum aangegeven.
De sinusoïde, met de amplitude als verticale afstand van de evenwichtsstand naar het maximum aangegeven.

De formule is:b=\text{ maximum}-\text{ evenwichtsstand} In ons voorbeeld:b=3\frac12-\frac12=3 Dus de amplitude is3.

Stap 4: berekencmet de periode

De periode is de lengte van één complete golfbeweging. Dit kun je bijvoorbeeld bepalen door de horizontale afstand tussen twee opeenvolgende maxima, of twee opeenvolgende minima, of twee opeenvolgende punten waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, te meten.

De sinusoïde, met de periode als horizontale afstand tussen twee maxima aangegeven.
De sinusoïde, met de periode als horizontale afstand tussen twee maxima aangegeven.

Voor dit voorbeeld kijken we naar de x-coördinaten van de maxima:

•Het ene maximum bevindt zich bijx=\frac12\pi.

•Het volgende maximum bevindt zich bijx=1\frac12\pi.

De periode is dus de afstand tussen deze punten:1\frac12\pi-\frac12\pi=\pi. De formule omcte berekenen is:c=\frac{2\pi}{\text{periode}} In ons voorbeeld:c=\frac{2\pi}{\pi}=2.

Stap 5: bepaal het beginpuntd

Voor een sinusfunctiey=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))geldt (alsb>0) datdde x-coördinaat is van het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat.

De sinusoïde, met het beginpunt (stijgend door evenwichtsstand) als paars bolletje aangegeven.
De sinusoïde, met het beginpunt (stijgend door evenwichtsstand) als paars bolletje aangegeven.

In ons voorbeeld zien we dat dit punt een x-waarde heeft van\frac14\pi. Dusd=\frac14\pi.

Formule metb > 0

Nu wea,b,cendhebben bepaald, kunnen we de formule opstellen:

y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d\right))

y=\frac12+3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac14\pi\right)\right)

Formule metb < 0

Soms wordt gevraagd om de formule op te stellen met een negatieve waarde voorb. Wat verandert er dan?

•De evenwichtsstand\left(a\right)blijft hetzelfde.

•De grootte van de amplitude blijft hetzelfde (in ons geval3), maar het plusteken voorbwordt een minteken.

•De waarde vancblijft hetzelfde, omdat de periode niet verandert.

•Alleen het beginpuntdverandert. Alsb < 0bij een sinusfunctie, isdniet het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, maar waar deze dalend door de evenwichtsstand gaat. Dit punt ligt precies een halve periode verder dan het stijgende punt. De nieuwedbereken je als volgt:d_{\text{nieuw}}=d_{\text{oud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right). In ons voorbeeld:d_{\text{nieuw}}=\frac14\pi+\left(\frac12\cdot\pi\right)=\frac14\pi+\frac12\pi=\frac34\pi.

De formule wordt dan:

y=a+b\cdot\sin\left.(c(x-d_{\text{nieuw}}\right))

y=\frac12-3\cdot\sin\left(2\left(x-\frac34\pi\right)\right)

Formule opstellen in de vormy=a+b\cdot\cos\left.(c(x-d\right))

Het opstellen van een formule met de cosinus volgt grotendeels dezelfde stappen voora,benc, maardwordt anders bepaald.

Een sinusoïde voor de cosinusfunctie met de x-as in π
Een sinusoïde voor de cosinusfunctie met de x-as in π

Stap 1: bepaal het minimum en maximum

In de grafiek van dit voorbeeld lezen we de volgende waarden af:

•Het minimum van de grafiek heeft een y-waarde van-\frac12.

•Het maximum van de grafiek heeft een y-waarde van3\frac12.

Stap 2: bereken de evenwichtsstanda

De formule blijft hetzelfde:a=\frac{\text{maximum }+\text{ minimum}}{2}

In dit voorbeeld:a=\frac{3\frac12+(-\frac12)}{2}=\frac32=1\frac12

Dus de evenwichtsstand isy=1\frac12.

Stap 3: bereken de amplitudeb

De formule blijft hetzelfde:b=\text{ maximum}-\text{ evenwichtsstand}

In dit voorbeeld:b=3\frac12-1\frac12=2

Dus de amplitude is2.

Stap 4: berekencmet de periode

We bepalen de periode door de afstand tussen twee opeenvolgende maxima te meten:

•Het ene maximum bevindt zich bijx = 1.

•Het volgende maximum bevindt zich bijx = 5.

De periode is dus5 - 1 = 4. De formule omcte berekenen blijft:c=\frac{2\pi}{\text{periode}} In dit voorbeeld:c=\frac{2\pi}{4}=\frac12\pi Duscis\frac12\pi.

Stap 5: bepaal het beginpuntd

Voor een cosinusfunctiey=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))geldt (alsb > 0) datdde x-coördinaat is van een maximum.

In ons voorbeeld bevindt het maximum zich bijx = 1.

Dusd = 1.

Formule metb > 0

De formule wordt dan:

y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d\right))

y=1\frac12+2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-1\right))

Formule metb < 0

Ook hier kan gevraagd worden om een formule metb<0.

•aencblijven hetzelfde.

•De grootte van de amplitude blijft hetzelfde, maar het plusteken voorbwordt een minteken.

•Het beginpuntdverandert. Alsb < 0bij een cosinusfunctie, isdniet de x-coördinaat van een maximum, maar van een minimum. Een minimum ligt precies een halve periode verder dan een maximum. De nieuwedbereken je als volgt:d_{\text{nieuw}}=d_{\text{oud}}+\left(\frac12\cdot\text{ periode}\right). In ons voorbeeld:d_{\text{nieuw}}=1+\left(\frac12\cdot4\right)=1+2=3.

De formule wordt dan:

y=a+b\cdot\cos(c\left(x-d_{\text{nieuw}}\right))

y=1\frac12-2\cdot\cos(\frac12\pi\left(x-3\right))

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.