Differentiëren

Differentiëren

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 11:22
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (4)Oefen de bijbehorende opgaven
Samenvatting

Differentiëren

In deze samenvatting gaan we in op het onderwerp differentiëren. We leren hoe je de formule van de afgeleide functie kunt opstellen aan de hand van enkele voorbeelden. We beginnen met een gegeven functie en werken ons een weg naar de afgeleide.

De functie en de afgeleide

We starten met de functief(x)=1{,}5x^2.De afgeleide functie, oftewel de hellinggrafiek, laat zien hoe de helling van de functie verandert. Om deze afgeleide functie te vinden, kunnen we gebruikmaken van een grafische rekenmachine.

Stap 1: Functie plotten

•Voer de functie in bijY1:\ 1{,}5x^2.

•Ga naarY2en kies de optie voor het differentiëren (RIF).

•VulY1in, zodat je de afgeleide van de functie voor allerlei waarden vanxkrijgt.

Hiervoor kun je de groene alpha-knop gebruiken om toegang te krijgen tot het menu waarin jef4 kunt selecteren voor de functie.

Afbeelding

Stap 2: Afgeleide grafiek analyseren

Als we de functie en de afgeleide functie plotten, zien we een blauwe lijn voorf\left(x\right)en een rode lijn voorf^{\prime}\left(x\right).De rode lijn blijkt een lineaire lijn te zijn. Dit kan ons veel vertellen over de vorm van de afgeleide.

De afgeleide functie heeft de vormf^{\prime}(x)=ax+b.

Aangezien de rode lijn door de oorsprong gaat, kunnen we concluderen datb=0.Hierdoor wordt de afgeleide functief^{\prime}(x)=ax.

Afbeelding

Stap 3: De richtingscoëfficiënt berekenen

Om de richtingscoëfficiëntate vinden:

Neemx = 1en vind de bijbehorendey\text{-cooördinaat}die3is.

Bereken:

(\Delta y/\Delta x):a=\frac{3 - 0}{1 - 0}=3 Daarom isf^{\prime}(x)=3x\text{.}

Afbeelding

Algemene regel voor afgeleiden

Deze aanpak kan algemeen worden samengevat:

Voor een functie van de vormf(x) = ax^2is de afgeleide functie: f'(x) = 2a \cdot x^{(n-1)} waarbijnde oorspronkelijke exponent is.

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Functie met5x

•Neem de functief(x)=5x\text{.}

•Voer de functie in bijY1als5x.

•Plot de afgeleide functie:

•De blauwe lijn isf(x) = 5xen de rode lijn is de afgeleide functie, een horizontale lijn op hoogte5.Dit betekent dat:f^{\prime}\left(x\right)=5.

Afbeelding

Voorbeeld 2: Constante functie

Neem nu de functief(x)=6.

Voer6in bijY1en plot de afgeleide functie.

Zowel de blauwe lijn voorf(x)als de rode lijn voorf'(x)zijn horizontaal, maar de rode lijn ligt op dex\text{-as}.Dit betekent dat:

f'(x) = 0

Dit komt doordat de afgeleide van een constante altijd0is.

Afbeelding

Voorbeeld 3: Complexe functie

Laten we de functief(x) = 3x^2 + 7x - 8differentiëren.

•Noteer de functie en schrijff^{\prime}(x).

•Voor3x^2\rarr3\cdot2=6 en de nieuwe exponent wordt2-1=1{,}dus6x.

•Voor7x:de afgeleide is7.

•De constante-8leidt tot een afgeleide van0.

De uiteindelijke afgeleide functie is:

f'(x) = 6x + 7

Voorbeeld 4: Functie met haakjes

Een andere functie isg(x)=x-(3x-4)^2.

Stap 1: Haakjes uitwerken

Voordat we gaan differentiëren, werken we de haakjes uit:

(3x-4)^2=9x^2-24x+16).

Dit betekent:

g(x) = x - (9x^2 - 24x + 16) = -9x^2 + 25x - 16

Stap 2: Afgeleide functie

Nu differentiëren we:

Voor-9x^2\rarr-9\cdot2=-18en de nieuwe exponent is2-1=1{,}dus-18x.

Voor25xis de afgeleide25.

En de constante-16levert0op.

g'(x) = -18x + 25

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.