Wat zijn de regels voor de afgeleide?

Er zijn verschillende belangrijke regels die je kunt gebruiken bij het differentiëren van functies. Deze regels helpen je om de afgeleide van complexe functies te bepalen.

Basisregels voor afgeleiden:

1. Afgeleide van een constante functie: Als $f(x) = a$ (waarbij $a$ een constant getal is), dan is de afgeleide $f'(x) = 0$.

   • Uitleg: De helling van een horizontale lijn (een constante functie) is altijd nul.

2. Afgeleide van een lineaire functie: Als $f(x) = ax + b$ (waarbij $a$ en $b$ constanten zijn), dan is de afgeleide $f'(x) = a$.

   • Uitleg: De helling van een rechte lijn is constant en gelijk aan de richtingscoëfficiënt $a$.

3. Afgeleide van een term met alleen $x$: Als $f(x) = ax$, dan is de afgeleide $f'(x) = a$. Dit is een speciaal geval van de lineaire functie waarbij $b=0$.

Algemene differentieerregels:

• Machtsregel: Als je een functie hebt van de vorm $f(x) = ax^b$, dan is de afgeleide $f'(x) = abx^{b-1}$. Dit betekent dat de exponent ($b$) naar voren komt en vermenigvuldigt met de bestaande coëfficiënt ($a$), en de nieuwe exponent wordt één minder.

  • Voorbeeld: Als $f(x) = 3x^4$, dan is $f'(x) = 12x^3$.

• Somregel: Wanneer je de som van twee functies differentieert, bijvoorbeeld $f(x) = g(x) + h(x)$, dan is de afgeleide $f'(x) = g'(x) + h'(x)$. Je differentieert dus elk deel afzonderlijk en telt de resultaten bij elkaar op.

• Verschilregel: Deze werkt vergelijkbaar met de somregel. Als je een verschilfunctie hebt, zoals $y(x) = g(x) - h(x)$, dan is de afgeleide $y'(x) = g'(x) - h'(x)$.

• Productregel: Deze regel gebruik je wanneer je het product van twee functies differentieert. Als $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, dan is de afgeleide $f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$. Je neemt dus de afgeleide van de eerste functie keer de tweede functie, plus de eerste functie keer de afgeleide van de tweede functie.

• Quotiëntregel: Voor een quotiënt van twee functies, $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, wordt de afgeleide gegeven door de formule: $f'(x) = \frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2}$ Een handig ezelsbruggetje hiervoor is $\frac{NAT-TAN}{N^2}$, waarbij NAT staat voor 'noemer keer afgeleide teller' en TAN voor 'teller keer afgeleide noemer', en dit geheel deel je door de noemer in het kwadraat.