Leerdoelen
•Je kunt algebraïsch de formule van een raaklijn opstellen m.b.v. de afgeleide.
De formule van een raaklijn
In deze les leer je hoe je de formule van een raaklijn kunt opstellen met behulp van de afgeleide van een functie. We gebruiken als voorbeeld de functie:
f(x)=\frac13x^{}{^3}+4x^2-5x+1
Het puntAen de afgeleide
Op de grafiek vanfligt het puntA,waarbij dex\text{-coördinaat}vanAgegeven is alsx=-6\text{.}Om de formule van de raaklijnkinAop te stellen, hebben we de afgeleide van de functie nodig. De afgeleidef'(x)wordt als volgt berekend:
Afgeleide berekenen:
•De afgeleide van\frac13x^3is x^2\text{.}
•De afgeleide van4x^2is8x\text{.}
•De afgeleide van-5xis-5\text{.}
•De afgeleide van de constante1is0.
Dus de afgeleide functie is:
f^{\prime}(x)=x^2+8x-5
De richtingscoëfficiënt en de raaklijn
De formule van de raaklijnkis van de vorm:
k:\ y=ax+b
waarbijade richtingscoëfficiënt is. Deze coëfficiënt is de helling van de raaklijn en wordt berekend door dex\text{-coördinaat}van puntAin de afgeleide functie in te vullen:
Vulx = -6in:
f'(-6) = (-6)^2 + 8(-6) - 5 = 36 - 48 - 5 = -17
Dus, de richtingscoëfficiëntais-17.Tot nu toe hebben we:
k:\ y=-17x+b
Berekening vanb
Ombte berekenen, hebben we de coördinaten van puntAnodig. We weten al datx=-6{,}maar we moeten ook dey\text{-coördinaat}berekenen doorx = -6in de oorspronkelijke functief(x)in te vullen:
Berekenf(-6):
f(-6)=\frac13x(-6)^{3}+4x(-6)^{2}-5x(-6)+1=-72+144+30+1=103
Nu hebben we de coördinaten vanA: (-6, 103) .Vul deze in de vergelijking van de raaklijn in ombte vinden:
Los op voorb:
103 = -17 x (-6) + b
103 = 102 + b
b = 1
De formule van de raaklijn is dus:
k:\ y=-17x+1
