De afstand van een punt tot een cirkel

De afstand van een punt tot een cirkel

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 14:11
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de afstand van een punt tot een cirkel berekenen.

Wat is de afstand van een punt tot een cirkel?

De afstand van een punt tot een cirkel is de kortste afstand tussen dit punt en een punt op de cirkel. Deze afstand is altijd de loodrechte afstand, gemeten langs de lijn die door het middelpunt van de cirkel en het betreffende punt loopt. Een cirkel is een verzameling van alle punten die even ver van een vast punt liggen. Dit vaste punt is het middelpuntM,en de vaste afstand is de straalr.

Een cirkel met middelpunt M en een punt A binnen de cirkel. Een lijnstuk van A naar de cirkelrand toont de kortste (loodrechte) afstand. Dit is dus de afstand van een punt tot een cirkel.
Een cirkel met middelpunt M en een punt A binnen de cirkel. Een lijnstuk van A naar de cirkelrand toont de kortste (loodrechte) afstand. Dit is dus de afstand van een punt tot een cirkel.
Een cirkel met middelpunt M en een punt B buiten de cirkel. Een lijnstuk van B naar de cirkelrand toont de kortste (loodrechte) afstand.
Een cirkel met middelpunt M en een punt B buiten de cirkel. Een lijnstuk van B naar de cirkelrand toont de kortste (loodrechte) afstand.

Hoe bereken je de afstand bij een punt binnen de cirkel?

Als een puntAbinnen de cirkel ligt, bereken je de afstand van puntAtot de cirkel door de afstand tussen middelpuntMen puntAaf te trekken van de straal van de cirkel. De formule is:\text{afstand}(A,C)=\text{ straal}-\text{ afstand}(A,M).

Hoe bereken je de afstand bij een punt buiten de cirkel?

Als een puntBbuiten de cirkel ligt, bereken je de afstand van puntBtot de cirkel door de straal af te trekken van de afstand tussen middelpuntMen puntB. De formule is:\text{afstand}(B,C)=\text{ afstand}(B,M)-\text{ straal}.

Hoe bepaal je het middelpunt en de straal van een cirkelvergelijking?

Om het middelpuntMen de straalrvan een cirkel te vinden, gebruik je de methode van kwadraatafsplitsen. Deze methode zet een cirkelvergelijking van de vormx^2+y^2+ax+by+c=0om naar de standaardvorm$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.Het middelpuntMheeft dan coördinaten (a,b)en de straal is$\sqrt{r^2}$.

Voorbeeld kwadraatafsplitsen

Gegeven is de cirkelvergelijking:$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0$.

1.Groepeer de termen metxeny: (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) + 6 = 0

2.Maak kwadraten door de helft van de coëfficiënt vanxenyte nemen en te kwadrateren, en de overbodige constante af te trekken:

1.Voor$x^2 - 2x$:halveer-2,dit is-1.Dus$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$.Trek de extra+1af:$(x-1)^2 - 1$.

2.Voor$y^2 + 6y$:halveer6,dit is+3.Dus$(y+3)^2 = y^2 + 6y + 9$.Trek de extra+9af:$(y+3)^2 - 9$.

3.Substitueer de kwadraten terug in de vergelijking en vereenvoudig: (x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 + 6 = 0 (x-1)^2 + (y+3)^2 - 4 = 0 (x-1)^2 + (y+3)^2 = 4

4.Lees het middelpunt en de straal af:

1.MiddelpuntM:\ (1,-3)

2.Straalr=\sqrt{4}=2

Hoe bereken je de afstand tussen twee punten?

De afstand tussen twee punten(x_1, y_1)en(x_2, y_2)bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras. De formule is:\text{afstand }= $\sqrt{((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)}$.

Voorbeeldberekening afstand tussenM(1, -3)enA(4, -1)

1.Bereken het verschil van dex\text{-coördinaten}in het kwadraat:$(4 - 1)^2 = 3^2 = 9$.

2.Bereken het verschil van dey\text{-coördinaten}in het kwadraat:$(-1 - (-3))^2 = (-1 + 3)^2 = 2^2 = 4$.

3.Tel de resultaten op en neem de wortel:\text{afstand}(A, M) = $\sqrt{(9 + 4)} = \sqrt{13}$.

Voorbeeldberekening: afstand van puntA(buiten de cirkel) tot cirkelC

Gegeven is cirkelC:\ x^2+y^2-2x+6y+6=0en puntA(4,-1).

1.BepaalMenrvanC:Met kwadraten splitsen (zie hierboven) isM $(1, -3)$enr=2.

2.Berekend(A,M):Gebruik de stelling van Pythagoras.$\sqrt{((4-1)^2 + (-1-(-3))^2)} = \sqrt{(3^2 + 2^2)} = \sqrt{(9+4)} = \sqrt{13}$.

3.Berekend(A,C):PuntAligt buiten de cirkel. De formule isd(A,M)-\ \text{straal}. d(A, C) = $\sqrt{13} - 2$.Dit wordt ook genoteerd als$-2 + \sqrt{13}$.

Voorbeeldberekening: afstand van puntB(binnen de cirkel) tot cirkelC

Gegeven is cirkelC:\ x^2+y^2-2x+6y+6=0en puntB$(0, -4)$.

1.BepaalMenrvanC:CirkelCis hetzelfde als in het vorige voorbeeld, dusMis(1, -3)enr=2.

2.Berekend(B,M):Gebruik de stelling van Pythagoras.$\sqrt{((0-1)^2 + (-4-(-3))^2)} = \sqrt{((-1)^2 + (-1)^2)} = \sqrt{(1+1)} = \sqrt{2}$.

3.Berekend(B,C):PuntBligt binnen de cirkel. De formule is\text{straal }-\ d(B,M). d(B, C) = $2 - \sqrt{2}$.

Hoe bereken je de afstand tussen een cirkel en een lijn?

De afstand tussen een cirkel en een lijn bereken je door de loodrechte afstand van het middelpunt van de cirkel tot de lijn te bepalen, en daar vervolgens de straal van de cirkel van af te trekken. Dit geldt wanneer de lijn buiten de cirkel ligt.

[AFBEELDING: Afstand tussen een cirkel en een lijn] Alt-tekst: Een rode cirkel C met middelpunt M. Een lijn k ligt buiten de cirkel. Een blauwe lijn l gaat door M en staat loodrecht op k, en snijdt k in punt S. Het kortste gele lijnstuk van de cirkelrand tot S geeft de afstand tussen de cirkel en lijn k weer.

Stappenplan voor afstand van een cirkel tot een lijn

1.Bepaal het middelpuntMen de straalrvan de cirkelCmet behulp van kwadraatafsplitsen.

2.Stel de vergelijking op van lijnldie loodrecht op een lijnkstaat en door middelpuntMgaat. Als lijnkde vormax + by = cheeft, dan heeft een lijnldie loodrecht hierop staat de vormbx - ay = d(of-bx+ay=d).

3.Bereken het snijpuntSvan lijnlen lijnk.Dit doe je door een stelsel van vergelijkingen op te lossen.

4.Bereken de afstand tussenMenSmet de stelling van Pythagoras.

5.Trek de straal van de cirkel af van de berekended(M, S)om de afstand tussen de cirkel en de lijn te vinden.

Voorbeeldberekening: afstand van cirkelCtot lijnk

Gegeven is cirkelC:\ x^2+y^2+4x-8y-5=0en lijnk:\ 2x-y=7.

1.BepaalMenrvanC:

1.Kwadraatafsplitsen: (x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) - 5 = 0 (x+2)^2 - 4 + (y-4)^2 - 16 - 5 = 0 (x+2)^2 + (y-4)^2 - 25 = 0 (x+2)^2 + (y-4)^2 = 25

2.MiddelpuntM(-2,4),straalr=\sqrt{25}=5.

2.Stel lijnlop (loodrecht opken doorM):

1.Lijnk:\ 2x-y=7.

2.Een lijnlloodrecht opkheeft de vorm$-x - 2y = d$.(De coëfficiënt vanyinkis-1,die komt voorxinl.De coëfficiënt vanxinkis2,die komt vooryinlmet een tegengesteld teken.)

3.VulM $(-2, 4)$inlomdte vinden: -(-2) - 2(4) = d 2 - 8 = d \Rightarrow d = -6

4.Lijnlis:$-x - 2y = -6$.Vermenigvuldig met-1om positieve begincoëfficiënt te krijgen:$x + 2y = 6$.

3.Bereken snijpuntSvanlenk:

1.Los het stelsel van vergelijkingen op: \begin{cases}2x-y=7\\ x+2y=6\end{cases}

2.Pas eliminatie toe voorx.Vermenigvuldig de onderste vergelijking met2: \begin{cases}2x-y=7\\ 2x+4y=12\end{cases}

3.Trek de vergelijkingen van elkaar af: (2x + 4y) - (2x - y) = 12 - 7 5y = 5 \Rightarrow y = 1

4.Vuly=1in in$x + 2y = 6$: x+2\cdot1=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4

5.SnijpuntS(4,1).

4.Berekend(M, S):

1.M(-2,4),\ S\left(4,1\right).

2.\sqrt{((-2-4)^2 + (4-1)^2)} = \sqrt{((-6)^2 + 3^2)} = \sqrt{(36 + 9)} = \sqrt{45}

3.Vereenvoudig de wortel:$\sqrt{45} = \sqrt{(9 \cdot 5)} = 3\sqrt{5}$.

5.Berekend(C, k):

1.De lijnkligt buiten de cirkel. De formule isd(M, S) - \text{straal.}

2.d(C, k) = $3\sqrt{5} - 5$.Dit wordt ook genoteerd als$-5 + 3\sqrt{5}$.

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.