De afstand tussen twee punten

De afstand tussen twee punten

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 14:31
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Begrippen (20)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de afstand tussen twee punten berekenen.

•Je kunt het midden van een lijnstuk tussen twee punten berekenen.

•Je kunt bovenstaande leerdoelen toepassen bij moeilijkere situaties.

De afstand tussen twee punten berekenen

Wanneer je twee punten in een assenstelsel hebt, kun je berekenen hoe groot de afstand tussen twee punten is. Deze afstand wordt genoteerd alsd\left(A,B\right).De letterdkomt van het Engelse woord distance (afstand).

De basis: Pythagoras in een assenstelsel

Stel, je hebt twee puntenAenBmet coördinatenA(x_A, y_A)enB(x_B, y_B)in een assenstelsel. Je wilt de lengte van het lijnstukABberekenen. Je kunt dan een hulppuntP(x_B, y_A)toevoegen. Hiermee creëer je een rechthoekige driehoekAPB,waarbijABde schuine zijde (hypotenusa) is.

Hulplijnen om de afstand tussen twee punten te berekenen.
Hulplijnen om de afstand tussen twee punten te berekenen.

De lengte van de rechthoekszijdeAPis het verschil in dex\text{-coördinaten}vanAenB,namelijk|x_B - x_A|.De lengte van de rechthoekszijdeBPis het verschil in dey\text{-coördinaten}vanAenB,namelijk|y_B - y_A|.

Volgens de stelling van Pythagoras geldt voor een rechthoekige driehoek dat het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Voor driehoekAPBbetekent dit: AB^2{}=AP^2+BP^2 OmABte vinden, neem je de wortel van beide kanten: AB=\sqrt{AP^2+BP^2}

Omdat het kwadrateren van een negatief getal ook positief wordt, hoef je de absolute waarde-strepen niet te gebruiken in de formule: AP^2{}=(x_{B}-x_{A})^2 BP^2=\left(y_{B}-y_{A}\right)^2

Afstandsformule

De algemene formule voor de afstanddtussen twee puntenA(x_A, y_A)enB(x_B, y_B)is dus: d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} Hierbij staat dedvoor 'distance', het Engelse woord voor afstand.

Rekenvoorbeeld 1a: Afstand tussenA(2,3)enB(6,5)

Gegeven zijn de puntenA(2,3)enB(6,5).Bereken de afstand tussenAenB. We vullen de coördinaten in de afstandsformule in:

•d(A,B) = \sqrt{(6 - 2)^2+ (5 - 3)^2}

•d(A,B) = \sqrt{4^2 + 2^2}

•d(A,B) = \sqrt{16 + 4}

•d(A,B) = \sqrt{20}

Je kunt\sqrt{20}ook vereenvoudigen:20is te schrijven als4 \cdot 5.Omdat4een kwadraat is, kun je de wortel van4nemen (dat is2)en die voor de wortel zetten. d(A,B) = 2\sqrt{5}

Hoe bepaal je het middelpunt van een lijnstuk in een assenstelsel?

Naast de afstand tussen twee punten is het ook belangrijk om te weten hoe je het middelpunt van een lijnstuk kunt vinden. Dit middelpuntMis precies halverwege de twee gegeven puntenAenB.

De middelpuntformule

Het middelpuntMvan een lijnstukABwordt berekend door het gemiddelde te nemen van dex\text{-coördinaten}en het gemiddelde van dey\text{-coördinaten}van de puntenAenB. De coördinaten van het middelpuntM(x_M, y_M)zijn: x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Rekenvoorbeeld 1b: Middelpunt van lijnstukABmetA(2,3)enB(6,5)

We gebruiken dezelfde punten als bij het berekenen van de afstand:A(2,3)enB(6,5). x_{M}=\frac{2+6}{2}=\frac82=4 y_{M}=\frac{3+5}{2}=\frac82=4 Het middelpuntMvan het lijnstukABis dus(4,4).

Toepassingen met onbekendenp

De formules voor afstand en middelpunt zijn niet alleen nuttig voor concrete getallen, maar ook bij vraagstukken waarin een of meer coördinaten onbekend zijn en worden uitgedrukt in een variabele, zoalsp.

Wat doe je als de coördinaten van een punt een onbekende bevatten?

Soms zijn de coördinaten van een punt niet alleen getallen, maar bevatten ze ook een onbekende zoalsp.Dan kun je het middelpunt van het lijnstuk uitdrukken in die variabele.

Rekenvoorbeeld 2a: MiddelpuntMuitdrukken inpvoorA(3,5)enB(p+1, 2p)

Gegeven zijn de puntenA(3,5)enB(p+1, 2p).Druk de coördinaten van het middelpuntMvan lijnstukABuit inp.

•x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{3+(p+1)}{2}

•x_{M}=\frac{p+4}{2}

•x_M = 0,5p + 2

•y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{5+2p}{2}

•y_M = 0,5 \cdot 5 + 0,5 \cdot 2p

•y_M = p + 2,5 De coördinaten vanMzijn dus(0,5p + 2, p + 2,5).

Wanneer ligt het middelpunt op een lijn?

Als de coördinaten van het middelpuntMzijn uitgedrukt in een variabelep,kun je soms berekenen voor welke waarde vanpdit middelpunt op een bepaalde lijn ligt.

Rekenvoorbeeld 2b: Het middelpuntMop lijnk:\ y=8x-6

Bereken voor welkephet middelpuntM(0{,}5p+2,\ p+2{,}5)op de lijnkmet vergelijkingy = 8x - 6ligt. Een punt ligt op een lijn als zijn coördinaten voldoen aan de vergelijking van die lijn. We vullen de coördinaten vanMin de vergelijking van lijnkin:

•y_m = 8 \cdot x_m - 6

•(p+2{,}5)=8\cdot(0{,}5p+2)-6

•p+2{,}5=4p+16-6

•p+2{,}5=4p+10

Nu lossen we deze vergelijking op voorp:

•2{,}5-10=4p-p

•-7{,}5=3p

•p=-\frac{7{,}5}{3}

•p=-2{,}5

Dus voorp=-2{,}5ligt het middelpuntMop lijnk.

Kun je de afstandsformule gebruiken als de coördinaten van een puntpvariabel zijn?

Net zoals je het middelpunt kunt uitdrukken in een variabelep,kun je ook de afstandsformule gebruiken wanneer de coördinaten van de puntenpbevatten.

Rekenvoorbeeld 3a: AfstandABuitdrukken inpvoorA(5,\ p)enB(3p+4,\ 2-p)

•Gegeven zijn de puntenA(5,\ p)enB(3p+4,\ 2-p).Druk de afstand tussenAenBuit inp. We gebruiken de afstandsformule:d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} Het is belangrijk om de termen zorgvuldig te substitueren en te herleiden. Let op de haakjes bij aftrekken. d(A,B) = \sqrt{((3p + 4) - 5)^2 + ((2 - p) - p)^2} Vereenvoudig eerst de termen binnen de haakjes:

•x_B - x_A = (3p + 4) - 5 = 3p - 1

•y_B - y_A = (2 - p) - p = 2 - 2p

Nu kwadrateren we deze verschillen. Onthoud de regel voor het kwadrateren van een tweeterm:

•(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

•(3p-1)^2=(3p)^2-2\cdot(3p)\cdot1+1^2=9p^2-6p+1

•(2 - 2p)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot (2p) + (2p)^2 = 4 - 8p + 4p^2

Tel de gekwadrateerde termen bij elkaar op:

•\left(9p^2-6p+1\right)+\left(4p^2-8p+4\right) Combineer gelijksoortige termen:

•9p^2 + 4p^2 = 13p^2

•-6p - 8p = -14p

•1+4=5

Dus, de uitdrukking onder de wortel is13p^2 - 14p + 5. De afstandd(A,B) = \sqrt{13p^2 - 14p + 5}.

Wanneer is de afstand een bepaalde waarde?

Als de afstand tussen twee punten is uitgedrukt in een variabelep,kun je berekenen voor welke waarde vanpde afstand een specifieke waarde heeft. Vaak wordt hierbij een grafische rekenmachine (GR) gebruikt.

Rekenvoorbeeld 3b: AfstandABis3,berekenp

Bereken voor welkepde afstand tussenAenBgelijk is aan3.Rond af op twee decimalen. We hebben de formule voor de afstand al gevonden in de vorige opgave:d(A,B) = \sqrt{13p^2 - 14p + 5}. We stellen deze afstand gelijk aan3: \sqrt{13p^2 - 14p + 5} = 3

Om deze vergelijking op te lossen, gebruik je een grafische rekenmachine.

1.Voer het linkerdeel van de vergelijking in alsY1:Y1 = \sqrt{13X^2 - 14X + 5}.Let op dat je de variabelepvervangt doorX,de standaardvariabele op de GR.

2.Voer het rechterdeel van de vergelijking in alsY2:Y2 = 3.

3.Gebruik de 'intersect' of 'snijpunt'-functie van je GR om de snijpunten vanY1enY2te vinden. De GR geeft als oplossing(en) voorX(oftewelp)ongeveer1{,}31. Dus, voorp\approx1{,}31is de afstand tussenAenBgelijk aan3.

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.