Leerdoelen
•Je kunt de grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)en de grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)herkennen.
•Je kunt de periode van\sin(x)(x)s(x)si(x)en\cos(x)(x)c(x)co(x)bepalen en uitleggen wat deze betekent.
•Je kunt de evenwichtsstand van\sin(x)(x)s(x)si(x)en\cos(x)(x)c(x)co(x)bepalen en uitleggen wat deze betekent.
•Je kunt de amplitude van\sin(x)(x)s(x)si(x)en\cos(x)(x)c(x)co(x)bepalen en uitleggen wat deze betekent.
De eenheidscirkel
Om te begrijpen hoe de grafieken vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)eng(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)eruitzien, duiken we eerst in de eenheidscirkel. Dit is een speciale cirkel in een assenstelsel. Het middelpunt van de eenheidscirkel ligt precies in de oorsprong (het punt\left(0,0\right)) en de straal van de cirkel is altijd gelijk aan 1.
Wanneer we de functief(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)bekijken, staat(ook wel) voor de y-coördinaat van een puntdat over de eenheidscirkel beweegt. Dein deze functie staat niet voor de x-coördinaat van, maar voor de hoek dieheeft gemaakt, uitgedrukt in radialen. Deze hoek wordt vaak aangeduid met(alfa).
Op dezelfde manier, als we kijken naar de functieg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x), dan staat(ook wel) voor de x-coördinaat van het puntdat over de eenheidscirkel beweegt. Ook hier staat deweer voor de hoek dieheeft gemaakt, uitgedrukt in radialen.
De grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)
De grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)heeft een golvende vorm. De maximale waarde die de grafiek bereikt, is altijd 1, en de minimale waarde is altijd -1. Dit komt doordat de y-coördinaat van puntop de eenheidscirkel nooit groter kan zijn dan 1 (het hoogste punt) en nooit kleiner dan -1 (het laagste punt).
Laten we stap voor stap kijken hoe de grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)ontstaat door puntover de eenheidscirkel te laten bewegen:
•radialen: Puntstart op de positieve x-as. De hoek is. De y-coördinaat vanis. Op de grafiek zien we dat.
•radialen:beweegt een kwart cirkel verder, tegen de klok in. De hoek is nu. De y-coördinaat vanis(het hoogste punt). Op de grafiek isf\left(\frac{1}{2}\pi\right)=1f\frac{1}{2}\pi)=1(een maximum).
•radialen:beweegt nog een kwart cirkel verder. De hoek is nu. De y-coördinaat vanis. Op de grafiek zien we dat.
•radialen:beweegt weer een kwart cirkel verder. De hoek is nu. De y-coördinaat vanis(het laagste punt). Op de grafiek isf\left(1\frac{1}{2}\pi\right)=-1f1\frac{1}{2}\pi)=-1(een minimum).
•radialen:heeft een hele cirkel afgelegd. De hoek is nu. De y-coördinaat vanis weer. Op de grafiek zien we dat. Vanaf dit punt herhaalt de beweging zich, omdatsimpelweg opnieuw over de cirkel zal bewegen.
We kunnen ook met de klok mee bewegen voor negatieve hoeken:
•radialen: Vanaf het startpunt met de klok mee een kwart cirkel. De y-coördinaat vanis. Op de grafiek isf\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=-1f-\frac{1}{2}\pi)=-1.
•radialen: Met de klok mee een halve cirkel. De y-coördinaat vanis. Op de grafiek is.
De grafiek vanf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)heeft oneindig veel toppen (maxima) en dalen (minima), omdat je oneindig veel rondjes over de eenheidscirkel kunt lopen, zowel tegen de klok in als met de klok mee.
De grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)
Net als de sinusgrafiek heeft ook de grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=cc(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)een golvende vorm. Ook hier zijn de maximale waarde 1 en de minimale waarde -1. Dit komt doordat de x-coördinaat van puntop de eenheidscirkel nooit groter kan zijn dan 1 en nooit kleiner dan -1.
Laten we de grafiek vang(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)afleiden met behulp van de eenheidscirkel:
•radialen: Puntstart op de positieve x-as. De hoek is. De x-coördinaat vanis. Op de grafiek zien we dat(een maximum). Dit is een belangrijk verschil met de sinusgrafiek, die bijdoor de oorsprong gaat.
•radialen:beweegt een kwart cirkel verder. De hoek is nu. De x-coördinaat vanis. Op de grafiek isg\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0g\frac{1}{2}\pi)=0.
•radialen:beweegt nog een kwart cirkel verder. De hoek is nu. De x-coördinaat vanis(het laagste punt). Op de grafiek is(een minimum).
•radialen:beweegt weer een kwart cirkel verder. De hoek is nu. De x-coördinaat vanis 0. Op de grafiek zien we datg\left(1\frac{1}{2}\pi\right)=0g1\frac{1}{2}\pi)=0.
•radialen:heeft een hele cirkel afgelegd. De hoek is nu. De x-coördinaat vanis weer. Op de grafiek zien we dat(opnieuw een maximum). Ook hier herhaalt de beweging zich.
Voor negatieve hoeken:
•radialen: vanaf het startpunt met de klok mee een kwart cirkel. De x-coördinaat vanis. Op de grafiek isg\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=0g-\frac{1}{2}\pi)=0.
•radialen: met de klok mee een halve cirkel. De x-coördinaat vanis. Op de grafiek is.
Kenmerken van sinus- en cosinusgrafieken
Periode
De periode is de lengte van één complete golfbeweging van de grafiek. Na deze lengte herhaalt de grafiek zich precies. Dit komt overeen met één volledige omwenteling van puntover de eenheidscirkel.
Voor zowelf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)alsg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)geldt dat de periodeis. Dit kun je op verschillende manieren aflezen of berekenen uit de grafiek:
1.Van maximum naar maximum: Meet de afstand tussen twee opeenvolgende maxima.
•Voorf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x): een maximum ligt bijvoorbeeld bijen het volgende maximum bij. De periode is dan.
•Voorg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x): een maximum ligt bijen het volgende maximum bij. De periode is dan.
2.Van minimum naar minimum: Meet de afstand tussen twee opeenvolgende minima.
•Voorf(x)=\sin(x)f(x)=\sin(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x): een minimum ligt bijen het vorige minimum bij. De periode is dan1\frac{1}{2}\pi-\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=1\frac{1}{2}\pi+\frac{1}{2}\pi=2\pi1\frac{1}{2}\pi--\frac{1}{2}\pi)=1\frac{1}{2}\pi+\frac{1}{2}\pi=2\pi.
•Voorg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x): een minimum ligt bijx=-\pien het volgende minimum bijx=\pix=p\pix=\pi. De periode is dan\pi-\left(-\pi\right)=2\pi\pi-\left(-\pi=2\pi\right)\pi-\left(-\pi=2\pi\right)\pi-\left(\pi=2\pi\right)\pi-\pi=2\pi.
3.Vanaf een startpunt: Kies een punt op de grafiek en zoek het eerstvolgende punt waar de grafiek weer exact dezelfde beweging begint (met dezelfde y-waarde en dezelfde richting van de golf).
•Voorf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x): de grafiek start bij\left(0,0\right)en keert terug naar\left(2\pi,0\right)om dezelfde beweging te beginnen. De periode is.
•Voorg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=cc(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x): de grafiek start bij\left(0,1\right)en keert terug naar\left(2\pi,1\right)om dezelfde beweging te beginnen. De periode is.
Evenwichtsstand
De evenwichtsstand is de horizontale lijn die precies door het midden van de golfbeweging van de grafiek loopt. Het is de lijn waar de grafiek omheen slingert en ligt precies tussen de maximale en minimale waarde in. Vaak wordt de evenwichtsstand gestippeld weergegeven in grafieken.
Voor zowelf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)alsg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)is de evenwichtsstand. Dit is logisch, want de maximale waarde isen de minimale waarde is. Het midden hiertussen is\frac{1+(-1)}{2}=0\frac{1+(-1)}{2}=0.(\frac{1+(-1)}{2}=0.(1\frac{1+(-1)}{2}=0.(1+\frac{1+(-1)}{2}=0.(1+\frac{1(-1)}{2}=0.(1+\frac{(-1)}{2}=0.(1+\frac{(-1))}{2}=0.(1+\frac{(-1))}{2}2=0.(1+\frac{(-1))}{\placeholder{}}2=0.(1+(-1))2=0..
Amplitude
De amplitude is de maximale uitwijking van de grafiek ten opzichte van de evenwichtsstand. Het is de afstand van de evenwichtsstand tot een maximum of tot een minimum. Aangezien de evenwichtsstand precies in het midden ligt, zijn deze afstanden altijd gelijk.
Voor zowelf(x)=\sin(x)f(x)=si(x)f(x)=s(x)f(x)=(x)f(x)=s(x)f(x)=si(x)alsg(x)=\cos(x)g(x)=co(x)g(x)=c(x)g(x)=(x)g(x)=c(x)g(x)=co(x)is de amplitude.
•De afstand van de evenwichtsstand () tot het maximum () is.
•De afstand van de evenwichtsstand () tot het minimum () is.
