Leerdoelen
•Je kunt de rekenregels voor logaritmen benoemen.
•Je kunt logaritmische formules herleiden met behulp van de rekenregels.
Welke rekenregels voor logaritmen zijn er?
Er zijn zes belangrijke rekenregels voor logaritmen die helpen bij het herleiden van uitdrukkingen. Deze regels beschrijven hoe logaritmen met hetzelfde grondtal (het kleine getal rechtsonder de 'log') bij elkaar opgeteld, afgetrokken of omgezet kunnen worden. Herleiden is het omzetten van een logaritmische uitdrukking of formule naar een andere, equivalente vorm.
De zes rekenregels voor logaritmen zijn:
Nr | Rekenregel | Beschrijving |
|---|
1 | $ ^{g}\log\left(a\right)+^{g}\log\left(b\right)=^{g}\log ab $ | De som van twee logaritmen met hetzelfde grondtal is de logaritme van het product van de argumenten. |
2 | ^{g}\log\left(a\right)-^{g}\log\left(b\right)=^{g}\log\left(\frac{a}{b}\right) | Het verschil van twee logaritmen met hetzelfde grondtal is de logaritme van het quotiënt van de argumenten. |
3 | p\cdot^{g}\log\left(a\right)=^{g}\log\left(a^{p}\right) | Een factor voor een logaritme kan als exponent in de logaritme worden geplaatst. |
4 | ^{g}\log\left(a\right)=\frac{^{p}\log\left(a\right)}{^{p}\log\left(g\right)} | Het grondtal van een logaritme kan worden gewijzigd door te delen door de logaritme van het oude grondtal. |
5 | g^{^{g}\log\left(a\right)}=a | Als het grondtal van een macht hetzelfde is als het grondtal van de logaritme in de exponent, blijft het argument over |
6 | ^{g}\log\left(g^{a}\right)=a | Als het grondtal van de logaritme hetzelfde is als het grondtal van de macht in het argument, blijft de exponent over. |
Hoe herken je de tien log?
Als er bij een logaritme geen grondtal staat, zoals 'log T', dan betreft het de tienlog → ^{10}\log\left(x\right). Dit is een logaritme met grondtal 10. Dit grondtal wordt dan niet geschreven, maar moet wel in gedachten worden gehouden bij het herleiden.
Hoe breng je een factor of constante in de logaritme?
Een factor die voor een logaritme staat, kan in de logaritme worden gebracht met behulp van rekenregel 3. Een constante zonder logaritme kan worden omgezet naar een logaritme met een gewenst grondtal door gebruik te maken van rekenregel 6.
Rekenvoorbeeld: Herleid de formule N=2,5\cdot^{10}\log\left(t\right)-5 naar de vorm N=^{10}\log\left(at^{b}\right).
N=2{,}5\cdot\log\left(t\right)-5
•Pas regel 3 toe op2{,}5\cdot\log\left(t\right): de factor 2,5 wordt de exponent van T.
N=\log(t^{2{,}5})-5
•Zet de constante 5 om in een 10 log. Gebruik regel 6: ^{g}\log\left(g^{a}\right)=a. Hierbij is g=10 en a=5.
N=\log(t^{2{,}5})-\log(10^5)
N=\log(t^{2{,}5})-\log(100.000)
•Pas regel 2 toe: het verschil van twee logaritmen met hetzelfde grondtal (10) wordt de logaritme van het quotiënt.
N=\log(\frac{t^{2{,}5}}{100.000})
•Dit kan ook geschreven worden als:
N=\log(\frac{1}{100.000}\cdot t^{2{,}5})
N=\log(0.00001\cdot t^{2{,}5})
De formule is nu herleid naar de gewenste vorm N=^{10}\log\left(at^{b}\right), waarbij a=0{,}00001 en b=2{,}5.
Hoe splits je een logaritme op?
Een logaritme met een product in het argument kan worden gesplitst in een som van twee logaritmen, door rekenregel 1 van rechts naar links toe te passen. Een logaritme met een quotiënt in het argument kan worden gesplitst in een verschil van twee logaritmen, door rekenregel 2 van rechts naar links toe te passen.
Belangrijk aandachtspunt: Bij het splitsen van logaritmen of het naar buiten halen van exponenten (regel 3 omgekeerd), moet je controleren of de exponent op de hele term of slechts een deel van de term staat.
Rekenvoorbeeld: Herleid de formule N=^3\log(81t^5) naar de vorm p+q\cdot^3\log\left(t\right).
N=^3\log(81t^5)
•Let op: de exponent 5 staat alleen bij t, niet bij 81.
•Splits het product 81\cdot t^5 in de logaritme met regel 1.
N=^3\log\left(81\right)+^3\log(t^5)
•Bereken de ^3\log\left(81\right). Omdat 81 = 3⁴ →^3\log\left(81\right)=4.
N=4+^3\log(t^5)
•Haal de exponent 5 voor de logaritme met regel 3.
N=4+5\cdot^3\log\left(t\right)
De formule is nu herleid naar de gewenste vorm p+q\cdot^3\log\left(t\right), waarbij p=4 en q=5.
Hoe verander je het grondtal van een logaritme?
Het grondtal van een logaritme kan worden gewijzigd met rekenregel 4:^{g}\log\left(a\right)=\frac{^{p}\log\left(a\right)}{^{p}\log\left(g\right)}. Dit is handig als je naar een standaard grondtal (zoals 10) wilt herleiden.
Rekenvoorbeeld: Herleid de formule P=0{,}3+^2\log(6{,}4Q) naar de vorm P=a+b\cdot\log\left(Q\right). Rond a en b af op twee decimalen.
P=0{,}3+^2\log(6{,}4Q)
•Splits het product 6{,}4\cdot Q in de ^2\log met regel 1.
P=0{,}3+^2\log\left(6{,}4\right)+^2\log\left(Q\right)
•Bereken ^2\log\left(6{,}4\right). Dit is ongeveer 2{,}678.
P=0{,}3+2{,}678...+^2\log\left(Q\right)
•Tel de constanten op.
P=2{,}978...+^2\log\left(Q\right)
•Verander het grondtal van ^2\log\left(Q\right) naar de ^{10}\log\left(x\right)(gewoon 'log') met regel 4. Hierbij is g=2, p=10.
P=2{,}978...+\frac{\log\left(Q\right)}{\log\left(2\right)}
•Herschrijf \frac{\log\left(Q\right)}{\log2} als \frac{1}{\log\left(2\right)}\cdot\log\left(Q\right).
P=2{,}978...+\frac{1}{\log\left(2\right)}\cdot\log\left(Q\right)
•Bereken \frac{1}{\log2}. Dit is ongeveer 3{,}3219.
P=2{,}978...+3{,}3219...\cdot\log\left(Q\right)
•Rond de constanten af op twee decimalen.
P=2.98+3.32\cdot\log\left(Q\right)
De formule is nu herleid naar de gewenste vorm P=a+b\cdot\log\left(Q\right), waarbij a=2.98 en b=3.32.
Rekenvoorbeeld: Herleid de formule P=0.3+^2\log(6{,}4Q) naar de vorm P=\log(aQ^{B}). Rond a en b af op twee decimalen.
P=0{,}3+^2\log(6{,}4Q)
•Zet de constante 0,3 om in een \log\left(10^{x}\right) (gewoon 'log') met regel 6.
P=\log(10^{0{,}3})+^2\log(6{,}4Q)
•Verander het grondtal van ^2\log(6{,}4Q) naar de 10 log met regel 4.
P=\log\left(10^{0{,}3}\right)\frac{\log(6{,}4Q)}{\log\left(2\right)}
•Bereken 10^{0{,}3} (ongeveer 1{,}995) en \frac{1}{\log\left(2\right)} (ongeveer 3{,}3219).
P=1{,}995...+3{,}3219...\cdot\log(6{,}4Q)
•Breng de factor 3,3219... in de logaritme als exponent met regel 3. Let op de haakjes.
P=\log(1{,}995...)+\log(\left(6{,}4Q\right)^{3{,}3219\ldots})
•Pas regel 1 toe: de som van twee logaritmen wordt de logaritme van het product.
•Werk de exponent uit: (6{,}4Q)^{3{,}3219\ldots}=6{,}4^{3.3219\ldots}\cdot Q^{3{,}3219\ldots}
P=\log(1{,}995...\cdot6{,}4^{3{,}3219\ldots}\cdot Q^{3{,}3219\ldots})
•Bereken 6,4^{3{,}3219\ldots} (ongeveer476{,}509).
P=\log(1{,}995...\cdot476{,}509...\cdot Q^{3{,}3219\ldots})
•Vermenigvuldig de constanten en rond af op twee decimalen.
P=\log(950{,}76\cdot Q^{3{,}32})
De formule is nu herleid naar de gewenste vorm P=\log(aQ^{B}), waarbija=950{,}76 en b=3{,}32.
Hoe herleid je naar een specifieke vorm door te ontbinden?
Soms moet je het argument van een logaritme ontbinden om een specifieke vorm te bereiken.
Rekenvoorbeeld: Schrijf de formule Y=^3\log(72x) in de vorm Y=2+3\log\left(ax\right).
$ Y=^3\log(72x) $
•Ontbind 72 zodanig dat er een macht van 3 ontstaat die je uit de logaritme kunt halen. 72=9\cdot8, en 9 = 3^2.
Y=^3\log(9\cdot8\cdot x)
•Splits de logaritme met regel 1.
Y=^3\log\left(9\right)+^3\log\left(8x\right)
•Bereken ^3\log\left(9\right). Omdat 9 = 3^2, is ^3\log\left(9\right) gelijk aan 2.
Y=2+^3\log(8x)
De formule is nu herleid naar de gewenste vorm Y=2+3\log\left(ax\right), waarbij a=8.
Rekenvoorbeeld: Schrijf de formuleA=5\cdot^4\log(32B) in de vorm A=p+q\cdot^4\log\left(\frac12B\right).
A=5\cdot^4\log(32B)
•De gewenste vorm heeft '\frac12B' in de log. Herschrijf 32B als een product:
A=5\cdot^4\log(64\cdot\frac12B)
•Splits de logaritme met regel 1.
A=5\cdot(^4\log64+^4\log(\frac12B))
•Bereken ^4\log\left(64\right). Omdat 64=4^3 →^4\log\left(64\right)=3.
A=5\cdot(3+^4\log(\frac12B))
•Vermenigvuldig de termen in de haakjes met 5.
A=15+5\cdot^4\log(1B)
De formule is nu herleid naar de gewenste vorm A=p+q\cdot^4\log\left(\frac12B\right), waarbij p=15 en q=5.
Hoe bereken of herleid je tot één logaritme?
Door de rekenregels toe te passen, kunnen meerdere logaritmen vaak worden samengevoegd tot één logaritme of zelfs worden uitgerekend tot een enkel getal.
Rekenvoorbeeld: Bereken of herleid tot één logaritme: ^4\log\left(8\right)+^4\log\left(128\right).
•Pas regel 1 toe: de som van twee logaritmen wordt de logaritme van het product.
^4\log(8\cdot128)
^4\log\left(1024\right)
•Herken dat 1024 een macht is van 4 (1024 = 4^5).
^4\log(4^5)
•Pas regel 6 toe: de logaritme van een macht met hetzelfde grondtal als de logaritme, is de exponent. Dus:
^4\log(4^5)=5
Rekenvoorbeeld: Herleid tot één logaritme: 1{,}5+^9\log\left(243\right).
•Zet de constante 1{,}5 om in een ^9\logmet regel 6.
^9\log\left(9^{1{,}5}\right)+^9\log\left(243\right)
•Bereken 9^{1{,}5}=9^{\left(\frac32\right)}=(\surd9)^3=3^3=27
^9\log\left(27\right)+^9\log\left(243\right)
•Pas regel 1 toe: de som van twee logaritmen wordt de logaritme van het product.
\left.^9\log(27\cdot243)\right.
^9\log\left(6561\right)
•Herken dat 6561 een macht is van 9 (6561=9^4).
^9\log(9^4)
•Pas regel 6 toe.
^9\log(9^4)
Rekenvoorbeeld: Herleid tot één logaritme: \frac12\cdot\log\left(25\right)+^{\frac12}\log\left(16\right).
•\frac12verplaatst naar \log\left(25\right)
\log\left(25^{\frac12}\right)=\log\left(\sqrt{25}\right)=\log\left(5\right)
•Pas regel 6 toe voor het tweede deel.
^{\frac12}\log\left(2^4\right)
^{\frac12}\log\left(\left(2^{-1}\right)^{-4}\right)
^{\frac12}\log\left(\left(\frac12^{}\right)^{-4}\right)
\log\left(5\right)-4
•4 omschrijven naar logaritme met grondtal 10.
\log\left(5\right)-\log\left(10^4\right)
\log\left(5\right)-\log\left(10000\right)
•Pas regel 2 toe: Het verschil van twee logaritmen met hetzelfde grondtal is de logaritme van het quotiënt van de argumenten
\log\frac{5}{10000}=\log\left(0{,}0005\right)
•Het kan niet verder berekend worden
