Hoe herleid je een logaritmische formule naar de vorm y = a + b log x?

Het herleiden van een logaritmische formule naar de vorm $y = a + b \log x$ betekent dat je de formule zo herschrijft dat er een constante ($a$), plus een andere constante ($b$) vermenigvuldigd met de 10-logaritme van $x$ overblijft. Dit doe je door gebruik te maken van de rekenregels voor logaritmes.

De belangrijkste rekenregels die je hiervoor nodig hebt, zijn:

1. Productregel: $\log_g (A \cdot B) = \log_g A + \log_g B$
2. Machtregel: $\log_g (A^p) = p \cdot \log_g A$
3. Verandering van grondtal-regel: $\log_g A = \frac{\log_p A}{\log_p g}$ (waarbij $p$ vaak $10$ is, zodat $\log_p A$ simpelweg $\log A$ wordt)

Laten we de formule $y = 3 \cdot \log_9(27x^2)$ stap voor stap herleiden naar de vorm $y = a + b \log x$.

Stap 1: Splits de term binnen de logaritme met de productregel. De term binnen de logaritme is $27x^2$, wat een product is van $27$ en $x^2$. $y = 3 \cdot (\log_9 27 + \log_9 x^2)$ We weten dat $\log_9 27 = 1,5$, omdat $9^{1,5} = 9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$. $y = 3 \cdot (1,5 + \log_9 x^2)$

Stap 2: Vermenigvuldig de factor voor de haakjes. Vermenigvuldig de $3$ met beide termen binnen de haakjes. $y = (3 \cdot 1,5) + (3 \cdot \log_9 x^2)$ $y = 4,5 + 3 \cdot \log_9 x^2$

Stap 3: Haal de exponent uit de logaritme met de machtregel. De term $\log_9 x^2$ heeft een exponent $^2$. Deze exponent mag je als factor voor de logaritme plaatsen. $y = 4,5 + (3 \cdot 2) \cdot \log_9 x$ $y = 4,5 + 6 \cdot \log_9 x$

Stap 4: Verander het grondtal van de logaritme met de verandering van grondtal-regel. We willen een 10-logaritme ($\log x$), dus we moeten $\log_9 x$ omzetten. $\log_9 x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} 9} = \frac{\log x}{\log 9}$ Vul dit in de formule in: $y = 4,5 + 6 \cdot \left(\frac{\log x}{\log 9}\right)$ Dit kan ook geschreven worden als: $y = 4,5 + \frac{6}{\log 9} \cdot \log x$

Stap 5: Bereken de waarden van $a$ en $b$ en rond af. De formule is nu in de vorm $y = a + b \log x$.

• $a = 4,5$
• $b = \frac{6}{\log 9}$

Bereken de waarde van $b$ met een rekenmachine: $\log 9 \approx 0,95424$ $b = \frac{6}{0,95424} \approx 6,2876$

Afgerond op twee decimalen:

• $a = 4,50$
• $b = 6,29$

De herleide formule is dus: $y = 4,50 + 6,29 \log x$