Hoe herleid je een logaritmische formule naar de vorm y = a + b log x?

Question

Hoe herleid je een logaritmische formule naar de vorm $y = a + b \log x$, inclusief een voorbeeld van hoe je de formule $y = 3 \cdot \log_9(27x^2)$ naar deze vorm herleidt?

JoJoschool · Accepted Answer

Het herleiden van een logaritmische formule naar de vorm $y = a + b \log x$ betekent dat je de formule zo herschrijft dat er een constante ($a$), plus een andere constante ($b$) vermenigvuldigd met de 10-logaritme van $x$ overblijft. Dit doe je door gebruik te maken van de rekenregels voor logaritmes.

De belangrijkste rekenregels die je hiervoor nodig hebt, zijn:
1.  **Productregel:** $\log_g (A \cdot B) = \log_g A + \log_g B$
2.  **Machtregel:** $\log_g (A^p) = p \cdot \log_g A$
3.  **Verandering van grondtal-regel:** $\log_g A = \frac{\log_p A}{\log_p g}$ (waarbij $p$ vaak $10$ is, zodat $\log_p A$ simpelweg $\log A$ wordt)

Laten we de formule $y = 3 \cdot \log_9(27x^2)$ stap voor stap herleiden naar de vorm $y = a + b \log x$.

**Stap 1: Splits de term binnen de logaritme met de productregel.**
De term binnen de logaritme is $27x^2$, wat een product is van $27$ en $x^2$.
$$y = 3 \cdot (\log_9 27 + \log_9 x^2)$$
We weten dat $\log_9 27 = 1,5$, omdat $9^{1,5} = 9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.
$$y = 3 \cdot (1,5 + \log_9 x^2)$$

**Stap 2: Vermenigvuldig de factor voor de haakjes.**
Vermenigvuldig de $3$ met beide termen binnen de haakjes.
$$y = (3 \cdot 1,5) + (3 \cdot \log_9 x^2)$$
$$y = 4,5 + 3 \cdot \log_9 x^2$$

**Stap 3: Haal de exponent uit de logaritme met de machtregel.**
De term $\log_9 x^2$ heeft een exponent $^2$. Deze exponent mag je als factor voor de logaritme plaatsen.
$$y = 4,5 + (3 \cdot 2) \cdot \log_9 x$$
$$y = 4,5 + 6 \cdot \log_9 x$$

**Stap 4: Verander het grondtal van de logaritme met de verandering van grondtal-regel.**
We willen een 10-logaritme ($\log x$), dus we moeten $\log_9 x$ omzetten.
$$\log_9 x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} 9} = \frac{\log x}{\log 9}$$
Vul dit in de formule in:
$$y = 4,5 + 6 \cdot \left(\frac{\log x}{\log 9}\right)$$
Dit kan ook geschreven worden als:
$$y = 4,5 + \frac{6}{\log 9} \cdot \log x$$

**Stap 5: Bereken de waarden van $a$ en $b$ en rond af.**
De formule is nu in de vorm $y = a + b \log x$.
*   $a = 4,5$
*   $b = \frac{6}{\log 9}$

Bereken de waarde van $b$ met een rekenmachine:
$\log 9 \approx 0,95424$
$b = \frac{6}{0,95424} \approx 6,2876$

Afgerond op twee decimalen:
*   $a = 4,50$
*   $b = 6,29$

De herleide formule is dus:
$$y = 4,50 + 6,29 \log x$$

Hoe herleid je een logaritmische formule naar de vorm y = a + b log x?

Hoe herleid je een logaritmische formule naar de vorm y = a + b log x?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerd materiaal

Herleiden m.b.v. de rekenregels voor logaritmen

Gerelateerde vragen