Leerdoelen
•Je kunt een beslissingsvoorschrift opstellen voor een hypothesetoets.
•Je kunt een nulhypothese aannemen of verwerpen op basis van een hypothesetoets met een normale verdeling.
•Je kunt de wortel-n-wet toepassen om de standaardafwijking van steekproefgemiddelden te berekenen.
•Je kunt een hypothese linkszijdig, rechtzijdig of tweezijdig toetsen.
Van binomiaal naar normaal verdeeld
Stel, je gooit 60 keer met een dobbelsteen en je wilt weten hoe vaak je zes gooit. Dit is in principe een binomiaal experiment, waarbij je bij elke worp een kans van 1/6 hebt om zes te gooien. Als je dit experiment (60 worpen) tienduizend keer herhaalt, zullen de uitkomsten van het aantal zessen bij benadering een normale verdeling volgen. Dit is een belangrijke eigenschap, want de normale verdeling heeft een kenmerkende klokvorm en stelt ons in staat om kansen en afwijkingen van het gemiddelde te analyseren.
De verwachtingswaarde of het gemiddelde van een binomiaal experiment bereken je met de formuleE\left(x\right)=n\cdot pE\left(x\right)=npE\left(x\right)=n\times pE\left(\right)=n\times pE\left(=n\times p\right)E=n\times p=n\times p, waarbijhet aantal worpen ende kans op succes is. Voor de dobbelsteen is ditE(x)=60\cdot\frac16=10E(x)=60\cdot\frac{1}{\placeholder{}}=10E(x)=60\cdot1=10E(x)=60\cdot=10E(x)=60\cdot(=10E(x)=60\cdot(1=10E(x)=60\cdot(1/=10E(x)=60\cdot(1/6=10. Je verwacht dus gemiddeld tien keer een zes te gooien. Dit gemiddelde bevindt zich in het midden van de klokvormige grafiek.
Nulhypothese en alternatieve hypothese
Bij het toetsen van een hypothese stel je altijd twee hypothesen op:
•De nulhypothese:p=\frac16p=\frac{1}{\placeholder{}}p=1p=. Dit is de bewering die je wilt toetsen en waarvan je in principe uitgaat dat deze waar is, tenzij het tegendeel wordt bewezen. Bij de dobbelsteen is de nulhypothese bijvoorbeeld: "De dobbelsteen is zuiver (de kans op een zes is 1/6)."
•De alternatieve hypothese:p\neq\frac16p\neq\frac{1}{\placeholder{}}. Dit is de bewering die je aanneemt als de nulhypothese wordt verworpen. Bij de dobbelsteen zou de alternatieve hypothese kunnen zijn: "De dobbelsteen is niet zuiver (de kans op een zes is niet 1/6)."
Het significatieniveau en kritieke gebied
Om te bepalen of we de nulhypothese verwerpen of aannemen, gebruiken we een significatieniveau\left(\alpha\right)\alpha. Dit is de kans dat je de nulhypothese ten onrechte verwerpt (ook wel een type I-fout genoemd). Vaak wordt eenvan(of 5%) gebruikt.
Het significatieniveau bepaalt het kritieke gebied. Dit is het gebied in de normale verdeling waar de waarnemingen zo extreem zijn dat ze hoogstwaarschijnlijk niet afkomstig zijn van de verdeling zoals beschreven in de nulhypothese. Als het significantieniveau\alpha\alpha\,\alpha\,\left(0{,}05\right)gelijk is aan0{,}05\left(0{,}05\right.\left(0{,}05\right), betekent dit dat 95% van de waarnemingen rond het gemiddelde ligt en 5% daarbuiten, in het kritieke gebied.
Het beslissingsvoorschrift opstellen
Een beslissingsvoorschrift geeft aan wanneer je de nulhypothese moet verwerpen. Laten we teruggaan naar het dobbelsteenvoorbeeld met een gemiddelde van 10. De standaardafwijking van 3 is hier een aangenomen waarde om het voorbeeld te illustreren. Als we voor dit voorbeeld tweezijdig toetsen en als we de vuistregel hanteren dat 95% van de waarnemingen binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde valt (wat overeenkomt met\alpha\approx0{,}05\alpha\approx005), kunnen we de grenzen bepalen:
•Rechtergrens:\text{gemiddelde }+\text{ }2\text{ }\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde }+\text{ }2\text{ }\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde }+\text{ }2\text{ }\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde }+\text{ }2\text{ }\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde }+\text{ }2\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde }+\text{ }2\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde }+2\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{ standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{standaardafwijking}=10+2\cdot3=16\text{gemiddelde}+2\cdot\text{standaardafwijking }=10+2\cdot3=16
•Linkergrens:\text{gemiddelde }-\text{ }2\text{ }\cdot\text{ standaardafwijking}=10-2\cdot3=4\text{gemiddelde }-\text{ }2\text{ }\cdot\text{ standaardafwijking}=10-2\cdot3=4\text{gemiddelde }-\text{ }2\text{ }\cdot\text{standaardafwijking}=10-2\cdot3=4\text{gemiddelde }-\text{ }2\text{ }\cdot\text{standaardafwijking}=10-2\cdot3=4\text{gemiddelde }-\text{ }2\cdot\text{standaardafwijking}=10-2\cdot3=4\text{gemiddelde }-\text{ }2\cdot\text{standaardafwijking}=10-2\cdot3=4\text{gemiddelde }-2\cdot\text{standaardafwijking}=10-2\cdot3=4
Het beslissingsvoorschrift is dan: verwerpals de waargenomen frequentie van zes kleiner is dan 4 of groter is dan 16. Als de uitkomst binnen het bereik van 4 tot en met 16 ligt, nemen weaan.
Hoewel de normale verdeling in principe voor continue variabelen is, kunnen we deze bij een voldoende groteook gebruiken als benadering voor discrete variabelen (zoals het aantal keer zes gooien). Voor continue variabelen, zoals de inhoud van flessen, is de normale verdeling echter veel logischer om te gebruiken.
De wortel-n-wet
Wanneer we werken met steekproeven, moeten we rekening houden met het feit dat de standaardafwijking van de steekproefgemiddelden kleiner is dan de standaardafwijking van de individuele metingen in de populatie. Dit komt omdat extreme waarden elkaar in een steekproef vaak opheffen. De wortel-n-wet beschrijft dit verband:.
Hierbij is:
•de standaardafwijking van het steekproefgemiddelde;
•de standaardafwijking van de populatie;
•de grootte van de steekproef.
Deze wet is cruciaal voor het toetsen van hypothesen met steekproefgemiddelden, omdat het de spreiding van onze waarnemingen correct weergeeft.
Linkszijdig toetsen
Een linkszijdige toets gebruik je wanneer de alternatieve hypotheseaangeeft dat het gemiddelde kleiner is dan de waarde die in de nulhypothesewordt gesteld. Dit is bijvoorbeeld relevant als je wilt onderzoeken of een machine te weinig van een product afvult. Het kritieke gebied bevindt zich dan volledig aan de linkerkant van de normale verdeling. Je verwerptals het steekproefgemiddelde in het kritieke gebied valt, dus als het kleiner is dan de kritieke grenswaarde die bij significantieniveauhoort.
Voorbeeld
Een vulmachine hoort flessen af te vullen met gemiddeld 1,55 liter en een populatiestandaardafwijking van 0,2 liter. Na controle van 100 flessen blijkt het gemiddelde 1,51 liter te zijn. Kun je concluderen dat de machine niet goed werkt? Kies.
•Nulhypothese\left(H_0\right): Het gemiddelde vulvolume is 1,55 liter\left(\mu=1{,}55\right)\mu=1{,}55\mu=155.
•Alternatieve hypothese\left(H_1\right): Het gemiddelde vulvolume is kleiner dan 1,55 liter\left(\mu<1{,}55\right)\left(\mu1{,}55\right)\left(\mu=1{,}55\right). (De fabriek is bang voor te weinig inhoud, dus linkszijdig).
Berekening van de standaardafwijking van het steekproefgemiddelde: \sigma_{\bar{X}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{100}}=\frac{0{,}2}{10}=0{,}02\sigma_{\bar{X}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{100}}=\frac{0{,}2}{10}=002\sigma_{\bar{X}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{100}}=\frac{0{,}2}{10}=0,02\sigma_{\bar{X}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{100}}=\frac{02}{10}=0,02\sigma_{\bar{X}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{100}}=\frac{0,2}{10}=0,02\sigma_{\bar{X}}=\frac{02}{\sqrt{100}}=\frac{0,2}{10}=0,02liter.
Bepalen van de kritieke grens: Met behulp van een grafische rekenmachine (functie invNorm of inverseNormal): invNorm(kans = 0,10, gemiddelde = 1,55, standaardafwijking = 0,02, optie = links) Dit geeft een kritieke grenswaarde van 1,52436 liter.
Beslissing: Het waargenomen steekproefgemiddelde is 1,51 liter. Dit ligt onder de kritieke grens van 1,52436 liter. Het gemiddelde bevindt zich dus in het kritieke gebied.
Conclusie: We verwerpen de nulhypothese\left(H_0\right). We kunnen concluderen dat de machine niet goed werkt en waarschijnlijk opnieuw ingesteld moet worden.
Rechtszijdig toetsen
Een rechtszijdige toets gebruik je wanneer de alternatieve hypothese\left(H_1\right)aangeeft dat het gemiddelde groter is dan de waarde die in de nulhypothesewordt gesteld. Het kritieke gebied bevindt zich dan volledig aan de rechterkant van de normale verdeling. Je verwerptals het steekproefgemiddelde in het kritieke gebied valt, dus als het groter is dan de kritieke grenswaarde die bij significantieniveauhoort.
Voorbeeld
Een vulmachine wordt ingesteld op een gemiddelde van 1,55 liter met een populatiestandaardafwijking van 0,2 liter. Na controle van 50 flessen blijkt het gemiddelde 1,57 liter te zijn. Kun je concluderen dat de machine niet goed werkt? Kies.
•Nulhypothese\left(H_0\right): Het gemiddelde vulvolume is 1,55 liter\left(\mu=1,55\right).
•Alternatieve hypothese\left(H_1\right)\left(qH_1\right)\left(H_1\right): Het gemiddelde vulvolume is groter dan 1,55 liter\left(\mu>1,55\right). (De fabriek is bang voor te veel inhoud, verspilling, dus rechtszijdig).
Berekening van de standaardafwijking van het steekproefgemiddelde: \sigma_{\bar{X}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{50}}\approx0{,}02828\sigma_{\bar{X}}=\frac{02}{\sqrt{50}}\approx0{,}02828\sigma_{\bar{X}}=\frac{0,2}{\sqrt{50}}\approx0{,}02828\sigma_{\bar{X}}=\frac{0,2}{\sqrt{50}}\approx002828liter.
Bepalen van de kritieke grens: Met behulp van een grafische rekenmachine: invNorm(kans = 0,10, gemiddelde = 1,55, standaardafwijking = 0,02828, optie = rechts) Dit geeft een kritieke grenswaarde van 1,5862 liter.
Beslissing: Het waargenomen steekproefgemiddelde is 1,57 liter. Dit ligt onder de kritieke grens van 1,5862 liter. Het gemiddelde bevindt zich dus niet in het kritieke gebied.
Conclusie: We verwerpen de nulhypotheseniet. Op basis van deze steekproef kunnen we niet concluderen dat de machine niet goed werkt.
Tweezijdig toetsen
Een tweezijdige toets gebruik je wanneer de alternatieve hypotheseaangeeft dat het gemiddelde verschilt van de waarde in de nulhypothese, dus het kan zowel kleiner als groter zijn. Het kritieke gebied bevindt zich dan aan beide uiteinden van de normale verdeling. Je splitst deop in twee gelijke delen:\frac{\alpha}{2}\frac{\alpha}{\placeholder{}}\alpha\alpha/voor de linkerkant en\frac{\alpha}{2}\frac{\alpha}{\placeholder{}}\alpha\alpha/voor de rechterkant. Je verwerptals het steekproefgemiddelde in het kritieke gebied valt, dus als het kleiner is dan de linker kritieke grenswaarde of groter is dan de rechter kritieke grenswaarde.
Voorbeeld
Een vulmachine wordt ingesteld op een gemiddelde van 1,55 liter en een populatiestandaardafwijking van 0,2 liter. Een controle wordt uitgevoerd op een steekproef van 1000 flessen. Bepaal het kritieke gebied voor het steekproefgemiddelde. Kies\alpha=0{,}10\alpha=010.
•Nulhypothese\left(H_0\right): Het gemiddelde vulvolume is 1,55 liter\left(\mu=1{,}55\right)\mu=1{,}55\mu=155.
•Alternatieve hypothese\left(H_1\right): Het gemiddelde vulvolume is niet gelijk aan 1,55 liter\left(\mu\neq1{,}55\right)\mu\neq1{,}55\mu\neq155. (De machine mag niet significant afwijken, zowel naar boven als naar beneden).
Berekening van de standaardafwijking van het steekproefgemiddelde: \sigma_{\bar{X}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{1000}}\approx0{,}00632\sigma_{\bar{X}}=\frac{02}{\sqrt{1000}}\approx0{,}00632\sigma_{\bar{X}}=\frac{0,2}{\sqrt{1000}}\approx0{,}00632\sigma_{\bar{X}}=\frac{0,2}{\sqrt{1000}}\approx000632liter. (Gebruik voor de berekening op de rekenmachine de onafgeronde waarde van de standaardafwijking voor het meest nauwkeurige antwoord.)
Bepalen van de kritieke grenzen: Aangezien het een tweezijdige toets is, verdelen we\frac{\alpha}{2}=\frac{0{,}10}{2}=0{,}05\alpha\frac{\alpha}{2}=\frac{0{,}10}{2}=0{,}05\alpha:\frac{\alpha}{2}=\frac{0{,}10}{2}=0{,}05\alpha:\frac{\alpha}{2}=\frac{0{,}10}{2}=005\alpha:\frac{\alpha}{2}=\frac{0{,}10}{2}=0,05\alpha:\frac{\alpha}{2}=\frac{0{,}10}{\placeholder{}}=0,05\alpha:\frac{\alpha}{2}=0{,}10=0,05\alpha:\frac{\alpha}{2}=0{,}10/=0,05\alpha:\frac{\alpha}{2}=0{,}10/2=0,05\alpha:\frac{\alpha}{2}=010/2=0,05\alpha:\frac{\alpha}{2}=0,10/2=0,05\alpha:\frac{\alpha}{\placeholder{}}=0,10/2=0,05\alpha:\alpha=0,10/2=0,05\alpha:\alpha/=0,10/2=0,05.
•Linkergrens: invNorm(kans = 0,05, gemiddelde = 1,55, standaardafwijking = 0,00632, optie = links) Dit geeft een linkergrens van ongeveer 1,5395 liter.
•Rechtergrens: invNorm(kans = 0,05, gemiddelde = 1,55, standaardafwijking = 0,00632, optie = rechts) Dit geeft een rechtergrens van ongeveer 1,5604 liter.
Beslissing: Beslissingsvoorschrift: Verwerpals\bar{X}<1{,}5395\bar{X}<15395\bar{X}<1,5395\bar{X}_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395_{\bar{X}}xˉ<1,5395of\bar{X}>1{,}5604>1{,}5604x>1{,}5604xˉ>1{,}5604xˉ>15604. Dit is het kritieke gebied.
Werken met je grafische rekenmachine
De functie invNorm (of inverseNormal) op je grafische rekenmachine is een handig hulpmiddel bij het bepalen van de grenzen van het kritieke gebied. Je voert meestal de volgende parameters in:
•Kans: Dit is de oppervlakte van het kritieke gebied in de staart die je bekijkt. Voor een eenzijdige toets (links- of rechtszijdig) gebruik je het significatieniveau. Voor een tweezijdige toets gebruik je\frac{\alpha}{2}\frac{\alpha}{\placeholder{}}om de grens van één van de twee staarten te vinden.
•Gemiddelde\left(\mu\right): De verwachte waarde volgens de nulhypothese.
•Standaardafwijking\left(\sigma\right): De standaardafwijking van de steekproefgemiddelden, berekend met de wortel-n-wet.
•Optie: Hier geef je aan of je de linkerkant (left), de rechterkant (right) of het midden (center) van de verdeling bekijkt.
Bij tweezijdig toetsen kun je soms ook direct de center-optie gebruiken. Als\alpha=0{,}10\alpha=010, wil je het middelste 90% gebied vinden. Je voert dan invNorm(kans = 0,90, gemiddelde, standaardafwijking, optie = center) in. De rekenmachine geeft dan direct de linker- en rechtergrenzen die het middelste 90% gebied omvatten, wat betekent dat 5% aan elke kant in het kritieke gebied ligt.
