Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat een rij in de wiskunde is.
•Je kunt uitleggen wat termen zijn in een rij.
•Je kunt uitleggen wat een recursieve formule is.
•Je kunt een recursieve formule opstellen.
•Je kunt latere termen in een rij uitrekenen met een recursieve formule.
•Je kunt eerdere termen in een rij uitrekenen met een recursieve formule.
Wat is een rij en welke kenmerken heeft het?
In de wiskunde is een getallenrij (of kortweg rij) een reeks van getallen die naast elkaar of onder elkaar zijn geplaatst. Een rij is het meest interessant wanneer deze een bepaalde regelmaat vertoont, die je kunt beschrijven met een recursieve formule. Dat betekent dat er bijvoorbeeld steeds hetzelfde getal bijkomt of ervan afgaat, of dat er steeds met hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd. De getallen in een rij hebben een volgorde, waardoor bekend is welk getal links staat en welk getal rechts staat. Door de regelmaat en volgorde ontstaat voorspelbaarheid, waardoor je een volgend getal in de reeks kunt berekenen.
De afzonderlijke getallen in een rij worden termen genoemd. Een bekend voorbeeld van een getallenrij is de reeks getallen onder de x-as, zoals -9, -8, ..., 0, ..., 7, 8, waarbij de regelmaat is dat er steeds één bijkomt.
Hoe noteer je termen in een rij?
Termen in een rij worden aangeduid met Un (uitgesproken als 'U n'). Hierbij staat 'n' voor het rangnummer van de term. De eerste term van een rij kan worden genoteerd als U0 of als U1. Dit hangt af van de afspraken die worden gemaakt:
•Als de eerste term U0 is, dan is U1 de tweede term, U2 de derde term, enzovoort. U10 is dan de elfde term.
•Als de eerste term U1 is, dan is U2 de tweede term, enzovoort. U10 is dan de tiende term.
Het is belangrijk om goed te letten op welke notatie wordt gebruikt, omdat dit van invloed is op het rangnummer van de termen.
Wat is een recursieve formule?
Een recursieve formule is een formule die wordt gebruikt om een getallenrij te beschrijven. Met deze formule kan de volgende term in de rij worden berekend op basis van de huidige of een voorgaande term. Recursie betekent dat je de volgende term kunt voorspellen door de regelmaat toe te passen op een eerdere term.
Een recursieve formule bestaat uit twee onderdelen:
1.De formule die de relatie tussen opeenvolgende termen beschrijft: deze formule geeft aan hoe je de volgende term (U_(n+1)) berekent op basis van de huidige term (Un), of hoe je de huidige term (U_n) berekent op basis van de voorgaande term (U(n-1)).
2.De startterm: dit is de waarde van de eerste term in de rij, bijvoorbeeld U0 of U1.
Hier zijn twee manieren om de relatie tussen termen te noteren:
•U(n+1) = Un + 2 met U0 = 3: dit betekent dat de volgende term (U(n+1)) gelijk is aan de huidige term (Un) plus 2. De rij begint met U_0 = 3.
•Un = U(n-1) + 2 met U₀ = 3: dit betekent dat de huidige term (Un) gelijk is aan de voorgaande term (U(n-1)) plus 2. De rij begint met U0 = 3.
Hoe stel je een recursieve formule op?
Om een recursieve formule op te stellen, doorloop je de volgende stappen:
1.Vind de regelmaat: bepaal of er een constante optelling/aftrekking of vermenigvuldiging/deling is tussen opeenvolgende termen.
2.Formuleer de recursieve relatie: schrijf de gevonden regelmaat als een formule met Un en U(n+1) (of Un en U(n-1)).
3.Noteer de startterm: geef aan welke term de eerste is (U₀ of U₁) en wat de waarde ervan is.
Voorbeelden van recursieve formules opstellen en gebruiken
Voorbeeld 1: Constante optelling
Gegeven is de rij: 25, 35, 45, 55, 65, 75. Stel de recursieve formule op met U0 = 25 en bereken U6.
1.Regelmaat: Er komt steeds 10 bij (35 - 25 = 10, 45 - 35 = 10, enzovoort).
2.Recursieve relatie: U(n+1) = Un + 10.
3.Startterm: U₀ = 25. De recursieve formule is: U(n+1) = Un + 10 met U0 = 25.
Om U6 te berekenen, tel je 10 op bij de laatste gegeven term, 75. Omdat U0 de eerste term is, is 75 de zesde term (U5). U6 is dus de zevende term. U6 = 75 + 10 = 85.
Voorbeeld 2: Terugrekenen voor eerdere termen (constante optelling)
Gegeven is de rij: 7, 14, 21, 28, 35, 42. Stel de recursieve formule op met U0 = 7 en bereken U-1 en U-3.
1.Regelmaat: Er komt steeds 7 bij.
2.Recursieve relatie: U(n+1) = Un + 7.
3.Startterm: U0 = 7. De recursieve formule is: U(n+1) = Un + 7 met U0 = 7.
Om U-1 te berekenen, keer je de bewerking om. Als je naar rechts +7 doet, doe je naar links -7. U-1 = U0 - 7 = 7 - 7 = 0. Voor U-3 moet je nog twee stappen verder terug: U-2 = U-1 - 7 = 0 - 7 = -7. U-3 = U-2 - 7 = -7 - 7 = -14.
Voorbeeld 3: Vermenigvuldiging en deling
Gegeven is de rij: 7, 14, 28, 56, 112, 224. Stel de recursieve formule op met U0 = 7 en bereken U-1 en U6.
1.Regelmaat: Elk getal wordt verdubbeld (keer 2).
2.Recursieve relatie: U(n+1) = 2 * Un.
3.Startterm: U0 = 7. De recursieve formule is: U(n+1) = 2 * Un met U0 = 7.
Om U-1 te berekenen, keer je de bewerking om. Als je naar rechts keer 2 doet, doe je naar links gedeeld door 2. U-1 = U0 / 2 = 7 / 2 = 3,5. Om U6 te berekenen, verdubbel je de laatste gegeven term, 224. U6 = 2 * 224 = 448.
Voorbeeld 4: Combinatie van bewerkingen
Gegeven is de rij: 25, 47, 91, 179, 355, 707. Stel de recursieve formule op met U1 = 25 en bereken U7 en U0.
1.Regelmaat: Elke term wordt keer 2 gedaan, en vervolgens wordt er 3 afgetrokken.
1.25 * 2 = 50; 50 - 3 = 47.
2.47 * 2 = 94; 94 - 3 = 91.
2.Recursieve relatie: U(n+1) = 2 * Un - 3.
3.Startterm: U1 = 25. De recursieve formule is: U(n+1) = 2 * Un - 3 met U1 = 25.
Om U7 te berekenen, pas je de formule toe op de laatste term, 707 (dit is U6). U7 = (2 * 707) - 3 = 1414 - 3 = 1411.
Om U0 te berekenen, werk je achterwaarts. Hierbij is de volgorde van bewerkingen belangrijk: eerst de inverse van de laatste bewerking toepassen, dan de inverse van de eerste bewerking. De formule is U(n+1) = 2 * Un - 3. Voor U1 = 25 geldt: U1 = 2 * U0 - 3. Om U0 te vinden:
1.Tel 3 op bij U1 (de inverse van '- 3'): 25 + 3 = 28.
2.Deel door 2 (de inverse van '* 2'): 28 / 2 = 14. Dus, U0 = 14.
