Hoe gebruik ik een recursieve formule?

Question

Hoe gebruik ik een recursieve formule, bijvoorbeeld om te bepalen vanaf welke term $u_n > 35$ is, gegeven de formule $u_n = u_{n-1} + \frac{u_{n-1}}{1+u_{n-1}}$ en startwaarde $u_0 = 25$?

JoJoschool · Accepted Answer

Een recursieve formule is een formule waarbij je een term berekent door de waarde van één of meer voorgaande termen te gebruiken. Om een recursieve formule te kunnen gebruiken, heb je altijd een startterm nodig.

Laten we de gegeven formule $u_n = u_{n-1} + \frac{u_{n-1}}{1+u_{n-1}}$ met startwaarde $u_0 = 25$ als voorbeeld nemen om te bepalen vanaf welke term $u_n > 35$ is.

**Stappen om een recursieve formule te gebruiken:**

1.  **Identificeer de startterm ($u_0$ of $u_1$) en de recursieve relatie.**
    *   In dit voorbeeld is de startterm $u_0 = 25$.
    *   De recursieve relatie is $u_n = u_{n-1} + \frac{u_{n-1}}{1+u_{n-1}}$.

2.  **Bereken de termen één voor één.**
    *   Gebruik de startterm om de volgende term te berekenen, en zo verder.
    *   $u_0 = 25$
    *   $u_1 = u_0 + \frac{u_0}{1+u_0} = 25 + \frac{25}{1+25} = 25 + \frac{25}{26} \approx 25.9615$
    *   $u_2 = u_1 + \frac{u_1}{1+u_1} \approx 25.9615 + \frac{25.9615}{1+25.9615} \approx 25.9615 + 0.9629 \approx 26.9244$
    *   $u_3 \approx 26.9244 + \frac{26.9244}{1+26.9244} \approx 26.9244 + 0.9642 \approx 27.8886$
    *   $u_4 \approx 27.8886 + \frac{27.8886}{1+27.8886} \approx 27.8886 + 0.9654 \approx 28.8540$
    *   $u_5 \approx 28.8540 + \frac{28.8540}{1+28.8540} \approx 28.8540 + 0.9665 \approx 29.8205$
    *   $u_6 \approx 29.8205 + \frac{29.8205}{1+29.8205} \approx 29.8205 + 0.9676 \approx 30.7881$
    *   $u_7 \approx 30.7881 + \frac{30.7881}{1+30.7881} \approx 30.7881 + 0.9685 \approx 31.7566$
    *   $u_8 \approx 31.7566 + \frac{31.7566}{1+31.7566} \approx 31.7566 + 0.9695 \approx 32.7261$
    *   $u_9 \approx 32.7261 + \frac{32.7261}{1+32.7261} \approx 32.7261 + 0.9703 \approx 33.6964$
    *   $u_{10} \approx 33.6964 + \frac{33.6964}{1+33.6964} \approx 33.6964 + 0.9712 \approx 34.6676$

3.  **Controleer de voorwaarde.**
    *   We zoeken de term waarvoor $u_n > 35$.
    *   $u_{10} \approx 34.6676$ is nog kleiner dan 35.
    *   $u_{11} \approx 34.6676 + \frac{34.6676}{1+34.6676} \approx 34.6676 + 0.9720 \approx 35.6396$

De 11e term ($u_{11}$) is de eerste term die groter is dan 35.

Voor dit soort opgaven, waarbij je veel termen moet berekenen, kan een grafische rekenmachine (GR) erg handig zijn om de berekeningen sneller en nauwkeuriger uit te voeren.

Hoe gebruik ik een recursieve formule?

Hoe gebruik ik een recursieve formule?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerd materiaal

Rijen 1: Recursieve formule

Rijen en Reeksen 2

Gerelateerde vragen