Hoe bepaal ik de term die aan een voorwaarde voldoet bij een recursieve formule?

Question

Hoe bepaal ik de term die aan een voorwaarde voldoet bij een recursieve formule, zoals $u_n > 35$ voor de formule $u_n = u_{n-1} + \frac{u_{n-1}}{1+u_{n-1}}$ met $u_0 = 25$?

JoJoschool · Accepted Answer

Om te bepalen vanaf welke term $u_n$ aan een bepaalde voorwaarde voldoet, zoals $u_n > 35$ in het gegeven voorbeeld, bereken je de termen één voor één totdat de voorwaarde is voldaan.

Stel, je hebt de recursieve formule $u_n = u_{n-1} + \frac{u_{n-1}}{1+u_{n-1}}$ en de startwaarde $u_0 = 25$. Je wilt weten vanaf welke term $u_n > 35$ is.

Je berekent de termen achtereenvolgens:
*   $u_0 = 25$
*   $u_1 = 25 + \frac{25}{1+25} = 25 + \frac{25}{26} \approx 25.9615$
*   $u_2 \approx 25.9615 + \frac{25.9615}{1+25.9615} \approx 25.9615 + 0.9629 \approx 26.9244$
*   $u_3 \approx 26.9244 + \frac{26.9244}{1+26.9244} \approx 26.9244 + 0.9642 \approx 27.8886$
*   $u_4 \approx 27.8886 + \frac{27.8886}{1+27.8886} \approx 27.8886 + 0.9654 \approx 28.8540$
*   $u_5 \approx 28.8540 + \frac{28.8540}{1+28.8540} \approx 28.8540 + 0.9665 \approx 29.8205$
*   $u_6 \approx 29.8205 + \frac{29.8205}{1+29.8205} \approx 29.8205 + 0.9676 \approx 30.7881$
*   $u_7 \approx 30.7881 + \frac{30.7881}{1+30.7881} \approx 30.7881 + 0.9685 \approx 31.7566$
*   $u_8 \approx 31.7566 + \frac{31.7566}{1+31.7566} \approx 31.7566 + 0.9695 \approx 32.7261$
*   $u_9 \approx 32.7261 + \frac{32.7261}{1+32.7261} \approx 32.7261 + 0.9703 \approx 33.6964$
*   $u_{10} \approx 33.6964 + \frac{33.6964}{1+33.6964} \approx 33.6964 + 0.9712 \approx 34.6676$
*   $u_{11} \approx 34.6676 + \frac{34.6676}{1+34.6676} \approx 34.6676 + 0.9720 \approx 35.6396$

Uit deze berekeningen blijkt dat $u_{10} \approx 34.6676$ nog kleiner is dan 35, maar $u_{11} \approx 35.6396$ is voor het eerst groter dan 35. Dit betekent dat de 11e term de eerste term is die aan de voorwaarde voldoet.

Voor dit soort opgaven, waarbij je veel termen moet berekenen, is het handig om een grafische rekenmachine (GR) te gebruiken. Je kunt de recursieve formule invoeren in de rijen-modus (SEQ-mode) en vervolgens de tabel bekijken om snel te zien wanneer de voorwaarde is voldaan.

Hoe bepaal ik de term die aan een voorwaarde voldoet bij een recursieve formule?

Hoe bepaal ik de term die aan een voorwaarde voldoet bij een recursieve formule?

Antwoord van Ainstein

Gerelateerd materiaal

Rijen 1: Recursieve formule

Rijen en Reeksen 2

Gerelateerde vragen