Leerdoelen
•Je kunt de afgeleide berekenen
•Je kunt uitleggen waarom differentiëren wordt gebruikt om de afgeleide te berekenen
•Je kunt uitleggen wat de top van de parabool is bij economie
Differentiëren
Differentiëren is een wiskundige techniek waarmee we de snelheid van verandering van een functie kunnen bepalen. In de economie gebruiken we dit vaak om inzicht te krijgen in hoe de opbrengsten van een bedrijf veranderen naarmate er meer producten verkocht worden.
Totale opbrengsten
De totale opbrengsten (TO) zijn het totale geldbedrag dat een bedrijf ontvangt uit de verkoop van producten. De basisformule voor de totale opbrengsten is:
TO=P\cdot QTO=P\cdotTO=PTO=TOT
Hierbij staat P voor de prijs en Q voor de hoeveelheid producten die verkocht zijn.
Totale opbrengsten bij monopolie
In een monopolistische markt is de berekening van de totale opbrengsten iets complexer, omdat de prijs afhankelijk is van de hoeveelheid verkochte producten. De vraaglijn kan worden uitgedrukt als:
Q=-aP+bQ=-aPbQ=-aP=bQ=-aP=Q=-aPQ=-aQ=-Q=Q
Hierbij is de prijs niet rechtlijnig, dat wil zeggen, de prijs hangt af van de betalingsbereidheid van de consument.
De resulterende TO-formule bevat een kwadratische term, wat betekent dat we met een parabool werken. De vorm van deze parabool is belangrijk, want hij laat ons zien waar de maximale opbrengsten of winst worden behaald.
Kenmerken van de parabool
•Bergparabool: aangezien de coëfficiënt van -Q^2Qnegatief is, heeft de parabool een bergachtige vorm. Dit betekent dat er een maximumpunt is waar de totale opbrengsten het hoogst zijn.
•Kantelpunt voor winst: het punt waar de opbrengsten beginnen af te nemen, is cruciaal voor de monopolist om zijn winst te maximaliseren.
Afgeleide berekenen
Om de maximale winst of opbrengst te vinden, moeten we de afgeleide van de totale opbrengsten berekenen. Dit wordt typisch aangeduid als de marginale opbrengst (MO), die ons vertelt hoeveel de totale opbrengsten toenemen bij de verkoop van één extra product.
De afgeleide van de totale opbrengsten kan worden berekend door de standaardregels van differentiëren toe te passen. Om MO te berekenen, volgen we een paar stappen:
•Verwijder constante termen.
•Verminder de exponenten van de Q's (bijvoorbeeld, als je Q² hebt, wordt dit 2Q na differentiatie).
Stappen:
Begin met TO=-Q_{}^2+bQTO=-Q_{}^2+b\cdot QTO=-Q^2b\cdot QTO=-Q^2=b\cdot QTO=-Q^2=\cdot QTO=-Q^2=B\cdot QTO=-Q^2=B\cdotTO=-Q^2=BTO=-Q^2=TO=-Q^2TO=-Q^{}TO=-Q^{\circ}TO=-Q^{\circ+}TO=-Q^{\circ}TO=-QTO=-TO=TOT
•Eerst halen we de constante weg.
•Dan differentiëren, hierbij verminder je de exponenten van de Q's en wordt de formule: MO=-2Q+bMO=-2Q+MO=-2Q+BMO = -2Q + B..
Voorbeeld:
•We willen de afgeleide van TO
TO=-5Q^2+120Q+200TO=-5Q^2+120Q+20TO=-5Q^2+120Q+2TO=-5Q^2+120Q+TO=-5Q^2+120QTO=-5Q^2+20QTO=-5Q^2+20TO=-5Q^2+2TO=-5Q^2+TO=-5Q^2TO=-5QTO=-5TO=-TO=TOTO-TOT
•De constante weghalen
TO=-5Q^2+120QTO=-5Q^2+120TO=-5Q^2+12TO=-5Q^2+1TO=-5Q^2+TO=-5Q^2TO=-5QTO=-5TO=-TO=TOT
•Machten
•Vermenigvuldigen met het getal ervoor en de macht verlagen met één
MO=-10Q+120MO=-10Q+12MO=-10Q+1MO=-10Q+MO=-10QMO=-10MO=-1MO=-MO=MOM
Oefening: maximaliseren van winst
Neem de vraaglijn:
Qv=-5P+3.000Qv=-5P3.000Qv=-5P=3.000Qv=-5P=3000Qv=-5P=300Qv=-5P=300-Qv=-5P=300Qv=-5P=30Qv=-5P=3Qv=-5P=Qv=-5PQv=-5Qv=-Qv=QvQ
Bij het maximaliseren van winst willen we weten:
•Wat is de hoeveelheid (Q) bij maximale winst?
•Wat is de prijs (P) bij maximale winst?
•De vraaglijn omzetten naar een prijsformule:
P=-0{,}2Q+600
•TO opstellen
TO=P\cdot Q
TO=\left(-0{,}2Q+600\right)\cdot QTO=\left(-0{,}2+600\right)\cdot QTO=\left(-0{,}2P+600\right)\cdot Q
•Haakjes verwijderen
TO=-0{,}2Q^2+^{}600Q
•Differentiëren
MO=-0,4Q+600
