Wat is het verschil tussen combinaties en trekkingen zonder terugleggen?

Het verschil tussen combinaties en trekkingen zonder terugleggen zit in de aard van het experiment en hoe de kansen worden berekend.

Bij combinaties (vaak gebruikt in een binomiaal experiment) gaat het om het aantal manieren waarop je een bepaald aantal successen kunt behalen in een vast aantal herhalingen, waarbij de volgorde van de successen niet relevant is. De kans op succes blijft bij elke herhaling hetzelfde.

Een binomiaal experiment heeft de volgende kenmerken:

• Er is een vast aantal herhalingen (bijvoorbeeld 10 pogingen).
• Elke herhaling heeft slechts twee mogelijke uitkomsten (succes of mislukking).
• De kans op succes is bij elke herhaling hetzelfde en onafhankelijk van eerdere herhalingen.

De combinaties worden weergegeven als $\binom{n}{k}$ (spreek uit als "n boven k"). Deze formule berekent het aantal verschillende manieren waarop je precies $k$ successen kunt behalen in $n$ herhalingen. De volgorde waarin deze successen optreden, doet er niet toe voor het totale aantal successen. Als je bijvoorbeeld 6 successen wilt in 10 pogingen, dan berekent $\binom{10}{6}$ hoeveel unieke combinaties van 6 successen er zijn binnen die 10 pogingen. Dit is essentieel voor de binomiale kansverdeling.

Bij trekkingen zonder terugleggen worden items uit een populatie gehaald en niet teruggelegd. Dit betekent dat:

• De items die getrokken worden, niet worden teruggelegd in de populatie.
• Hierdoor verandert de samenstelling van de populatie na elke trekking, en daarmee ook de kansen voor de volgende trekking. De gebeurtenissen zijn dus afhankelijk.

De kansen worden direct berekend door de voorwaardelijke kansen van de opeenvolgende trekkingen te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld, als je de kans wilt berekenen op het trekken van twee enveloppen met 10 euro uit een totaal van 20 enveloppen, waarvan 8 met 10 euro:

• De kans op de eerste trekking is $\frac{8}{20}$ (8 enveloppen met 10 euro van de 20 totaal).
• Als die trekking succesvol is, zijn er nog 7 enveloppen met 10 euro over en nog 19 enveloppen in totaal. De kans op de tweede trekking is dan $\frac{7}{19}$.
• De totale kans is dan $P(2 \text{ enveloppen met } 10 \text{ euro}) = \frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19}$.

De volgorde van de trekkingen is hier al meegenomen in de directe vermenigvuldiging van de voorwaardelijke kansen.

Kortom:

• Combinaties (Binomiaal): De volgorde van successen is niet relevant voor het aantal successen, en de kansen per poging zijn constant. De combinaties tellen het aantal manieren waarop een bepaald aantal successen kan optreden.
• Trekkingen zonder terugleggen: De kansen veranderen bij elke trekking omdat items niet worden teruggelegd, en de berekening houdt al rekening met de specifieke volgorde van de trekkingen door de voorwaardelijke kansen te vermenigvuldigen.