Hoe los ik een kwadratische vergelijking op door de middenterm te splitsen?

Het splitsen van de middenterm is een methode om kwadratische vergelijkingen op te lossen door de vergelijking te herschrijven en vervolgens te ontbinden in factoren. Deze methode is vooral handig wanneer de discriminant en de ABC-formule niet gebruikt mogen worden.

Hier is een stappenplan om een kwadratische vergelijking zoals $2x^2 - 7x = 15$ op te lossen met het splitsen van de middenterm:

Stap 1: Zet de vergelijking in de standaardvorm $ax^2 + bx + c = 0$. Voordat je de middenterm kunt splitsen, moet de vergelijking gelijk zijn aan nul. Voor de vergelijking $2x^2 - 7x = 15$, verplaats je de $15$ naar de linkerkant: $2x^2 - 7x - 15 = 0$

Nu heb je de waarden voor $a$, $b$ en $c$:

• $a = 2$
• $b = -7$
• $c = -15$

Stap 2: Zoek twee getallen die vermenigvuldigd $a \times c$ zijn en opgeteld $b$. Bereken eerst $a \times c$: $a \times c = 2 \times -15 = -30$

Nu zoek je twee getallen die vermenigvuldigd $-30$ zijn en opgeteld $-7$. Deze getallen zijn $3$ en $-10$, want:

• $3 \times -10 = -30$
• $3 + (-10) = -7$

Stap 3: Splits de middenterm ($bx$) met de gevonden getallen. De middenterm $-7x$ wordt gesplitst in $+3x - 10x$. De vergelijking wordt dan: $2x^2 + 3x - 10x - 15 = 0$

Stap 4: Groepeer de termen en haal gemeenschappelijke factoren buiten haakjes. Neem de eerste twee termen samen en de laatste twee termen samen: $(2x^2 + 3x) + (-10x - 15) = 0$

Haal nu de gemeenschappelijke factor uit elk groepje:

• Uit $2x^2 + 3x$ kun je $x$ buiten haakjes halen: $x(2x + 3)$
• Uit $-10x - 15$ kun je $-5$ buiten haakjes halen: $-5(2x + 3)$

De vergelijking ziet er nu zo uit: $x(2x + 3) - 5(2x + 3) = 0$

Stap 5: Haal de gemeenschappelijke factor $(2x + 3)$ buiten haakjes. Je ziet dat $(2x + 3)$ een gemeenschappelijke factor is in beide delen van de vergelijking. Haal deze factor buiten haakjes: $(2x + 3)(x - 5) = 0$

Stap 6: Stel elke factor gelijk aan nul en los op voor $x$. Als het product van twee factoren nul is, dan moet minstens één van de factoren nul zijn.

1. Stel de eerste factor gelijk aan nul: $2x + 3 = 0$ $2x = -3$ $x = -\frac{3}{2}$

2. Stel de tweede factor gelijk aan nul: $x - 5 = 0$ $x = 5$

De oplossingen voor de vergelijking $2x^2 - 7x = 15$ zijn dus $x = -\frac{3}{2}$ en $x = 5$.