Hoe bepaal je in welk jaar lineaire groei groter is dan een andere?

Om bij lineaire groei uit te rekenen in welk jaar het ene groter is dan het andere, maak je gebruik van lineaire ongelijkheden. Dit betekent dat je twee lineaire functies met elkaar vergelijkt om te bepalen wanneer de waarde van de ene functie die van de andere overtreft.

Je doorloopt hiervoor de volgende stappen:

1. Stel de ongelijkheid op: Begin met het opstellen van een ongelijkheid die de situatie beschrijft. Dit houdt in dat je de twee lineaire groeiformules (bijvoorbeeld $y = ax + b$) tegenover elkaar zet met een ongelijkheidsteken ertussen. De veelgebruikte ongelijkheidstekens zijn:

   • $<$ (kleiner dan)
   • $>$ (groter dan)
   • $\le$ (kleiner dan of gelijk aan)
   • $\ge$ (groter dan of gelijk aan)

   Voorbeeld: Stel, je hebt twee situaties:

   • Situatie A: $y_A = 10x + 50$ (waarbij $x$ het aantal jaren is en $y_A$ de waarde van situatie A)
   • Situatie B: $y_B = 15x + 20$ (waarbij $x$ het aantal jaren is en $y_B$ de waarde van situatie B) Als je wilt weten wanneer situatie A groter is dan situatie B, stel je de ongelijkheid op: $10x + 50 > 15x + 20$.

2. Los de bijbehorende vergelijking op: Om het 'omschakelpunt' te vinden, los je eerst de vergelijking op die hoort bij de ongelijkheid. Je vervangt het ongelijkheidsteken dus tijdelijk door een is-gelijk-teken (=). Dit snijpunt is het moment waarop de twee precies aan elkaar gelijk zijn.

   Voorbeeld: Voor de ongelijkheid $10x + 50 > 15x + 20$ los je eerst de vergelijking op: $10x + 50 = 15x + 20$ $50 - 20 = 15x - 10x$ $30 = 5x$ $x = 6$ Dit betekent dat na 6 jaar de waarden van situatie A en situatie B precies gelijk zijn.

3. Bepaal de oplossing van de ongelijkheid: Nadat je het snijpunt hebt gevonden, kijk je wanneer de ene functie daadwerkelijk groter is dan de andere. Dit kun je doen door een waarde te testen die voor of na het snijpunt ligt, of door naar de grafieken van de functies te kijken.

   Voorbeeld: We weten dat bij $x=6$ de waarden gelijk zijn. We willen weten wanneer $10x + 50 > 15x + 20$.

   • Test een waarde kleiner dan 6, bijvoorbeeld $x=5$:
     • $y_A = 10(5) + 50 = 50 + 50 = 100$
     • $y_B = 15(5) + 20 = 75 + 20 = 95$ Hier is $100 > 95$, dus $y_A > y_B$ als $x=5$.
   • Test een waarde groter dan 6, bijvoorbeeld $x=7$:
     • $y_A = 10(7) + 50 = 70 + 50 = 120$
     • $y_B = 15(7) + 20 = 105 + 20 = 125$ Hier is $120 < 125$, dus $y_A < y_B$ als $x=7$.

   Uit de testwaarden blijkt dat situatie A groter is dan situatie B wanneer $x < 6$. Omdat $x$ vaak staat voor jaren en niet negatief kan zijn in dit soort contexten, is de oplossing $0 \le x < 6$. Als de vraag specifiek is naar 'in welk jaar', dan zijn dit de jaren 0, 1, 2, 3, 4 en 5.

Door deze stappen te volgen, kun je bepalen in welke periode of welk jaar de ene lineaire groei groter is dan de andere.