Telproblemen

Leerdoelen

•Je kunt telproblemen oplossen met en zonder herhaling.

•Je kunt uitleggen wanneer en hoe je de vermenigvuldigingsregel toepast.

•Je kunt uitleggen wanneer je moet optellen en wanneer je moet vermenigvuldigen bij telproblemen.

•Je kunt een boomdiagram gebruiken om telproblemen op te lossen.

Wat zijn telproblemen en hoe los je ze op met een boomdiagram?

Telproblemen zijn rekenopgaven waarbij je het totale aantal mogelijke combinaties of volgordes berekent. Eén manier om telproblemen visueel op te lossen, is met een boomdiagram. Een boomdiagram is een schematische weergave van alle mogelijke uitkomsten van een reeks keuzes, waarbij elke keuze een nieuwe vertakking creëert.

Stel, je kiest een driegangenmenu met één voorgerecht, één hoofdgerecht en één nagerecht. Het menu biedt de volgende opties:

•Voorgerecht: soep of salade (2 opties)

•Hoofdgerecht: vlees, vis of vegetarisch (3 opties)

•Nagerecht: ijs of kaas (2 opties)

Om het aantal verschillende driegangenmenu’s te vinden, begin je met een startpunt. Vanuit het startpunt teken je twee vertakkingen voor de voorgerechten. Voor elk voorgerecht teken je vervolgens drie vertakkingen voor de hoofdgerechten. Tot slot teken je voor elk hoofdgerecht twee vertakkingen voor de nagerechten. Het totaal aantal unieke paden van het startpunt naar het einde van de laatste vertakkingen geeft het aantal mogelijke menu's.

Als je alle vertakkingen afloopt, zie je dat er2\cdot3\cdot2=12verschillende driegangenmenu's samengesteld kunnen worden. Een boomdiagram geeft inzicht in hoe combinaties tot stand komen, maar het wordt snel onoverzichtelijk en tijdrovend bij meer keuzes.

Wanneer en hoe pas je de vermenigvuldigingsregel toe?

De vermenigvuldigingsregel is een snellere methode om het totaal aantal combinaties te berekenen. Je vermenigvuldigt het aantal mogelijkheden voor elke afzonderlijke keuze met elkaar.

Voorbeeld: Draaischijven met cijfers Esma draait drie schijven. Schijf 1 wijst een cijfer aan van 1 tot en met 6 (6 mogelijkheden). Schijf 2 wijst een cijfer aan van 7 tot en met 9 (3 mogelijkheden). Schijf 3 wijst een cijfer aan van 2, 3, 5 of 6 (4 mogelijkheden). De drie cijfers vormen samen een getal.

Hoeveel verschillende getallen zijn er mogelijk?

Het aantal verschillende getallen bereken je door het aantal mogelijkheden per schijf te vermenigvuldigen: Aantal getallen=6\text{ (schijf 1)}\cdot3\text{ (schijf 2)}\cdot4\text{ (schijf 3)}=72verschillende getallen.

Hoeveel getallen groter dan 400 zijn er mogelijk?

Voor een getal groter dan 400 moet het eerste cijfer 4, 5 of 6 zijn.

•Schijf 1: 3 opties (4, 5, 6)

•Schijf 2: 3 opties (7, 8, 9)

•Schijf 3: 4 opties (2, 3, 5, 6) Aantal getallen groter dan 400 is dan3\cdot3\cdot4=36verschillende getallen.

Hoeveel even getallen zijn er mogelijk?

Een even getal is een getal dat deelbaar is door twee. Dit betekent dat het laatste cijfer van het getal even moet zijn.

•Schijf 1: 6 opties (1, 2, 3, 4, 5, 6)

•Schijf 2: 3 opties (7, 8, 9)

•Schijf 3: 2 opties (2, 6, want 3 en 5 zijn oneven) Aantal even getallen is dan6\cdot3\cdot2=36verschillende getallen.

Hoeveel getallen zijn er mogelijk waarin het cijfer acht voorkomt?

Het cijfer 8 komt alleen voor op schijf 2. Om te voldoen aan de voorwaarde dat een 8 voorkomt, moet schijf 2 dus een 8 aanwijzen.

•Schijf 1: 6 opties (1, 2, 3, 4, 5, 6)

•Schijf 2: 1 optie (alleen de 8)

•Schijf 3: 4 opties (2, 3, 5, 6) Aantal getallen met een 8 is dan6\cdot1\cdot4=24verschillende getallen.

Wat is het verschil tussen telproblemen met en zonder herhaling?

Bij telproblemen is het belangrijk om te weten of herhaling is toegestaan.

•Met herhaling: Je mag een gekozen optie opnieuw kiezen voor een volgende stap (bijvoorbeeld: dezelfde weg terugnemen).

•Zonder herhaling: Een gekozen optie mag niet meer worden gekozen voor de volgende stappen (bijvoorbeeld: een reeds gekozen letter mag niet meer in dezelfde code voorkomen).

Voorbeeld: Reizen van A naar B en terug

Er zijn 5 wegen van plaats A naar plaats B.

Hoeveel manieren zijn er om van A naar B en weer terug naar A te reizen?

Als je dezelfde weg terug mag nemen, is er sprake van herhaling.

•Heenreis: 5 opties

•Terugreis: 5 opties

Totaal aantal manieren=5\cdot5=25manieren.

Hoeveel manieren zijn er om van A naar B en weer terug naar A te reizen zonder dezelfde weg terug te nemen?

Als je de gekozen weg niet meer terug mag nemen, is er sprake van zonder herhaling.

•Heenreis: 5 opties

•Terugreis: 4 opties (de weg die heen is genomen, mag niet meer) Totaal aantal manieren=5\cdot4=20manieren.

Voorbeeld: Vierlettercodes

Een fabrikant maakt vierlettercodes. Het alfabet heeft 26 letters.

Hoeveel verschillende vierlettercodes zijn er in totaal (met herhaling)?

Als herhaling is toegestaan, mag elke letter meerdere keren worden gebruikt.

•Eerste letter: 26 opties

•Tweede letter: 26 opties

•Derde letter: 26 opties

•Vierde letter: 26 opties Totaal aantal codes=26\cdot26\cdot26\cdot26=456976verschillende codes.

Hoeveel vierlettercodes zijn er met vier verschillende letters (zonder herhaling)?

Als herhaling niet is toegestaan, moet elke volgende letter anders zijn dan de voorgaande.

•Eerste letter: 26 opties

•Tweede letter: 25 opties (één letter is al gekozen)

•Derde letter: 24 opties (twee letters zijn al gekozen)

•Vierde letter: 23 opties (drie letters zijn al gekozen) Totaal aantal codes=26\cdot25\cdot24\cdot23=358800verschillende codes.

Hoeveel vierlettercodes zijn er als de code moet beginnen met een A en eindigen met een X of een Z, en herhaling is niet toegestaan?

Bij deze vraag gelden specifieke voorwaarden.

•Eerste letter: 1 optie (moet een A zijn)

•Laatste letter: 2 opties (moet een X of een Z zijn) Nu zijn er twee letters gekozen (de A en óf de X óf de Z). Omdat herhaling niet is toegestaan, zijn er nog 24 letters over voor de tweede plek en 23 voor de derde plek.

•Tweede letter: 24 opties (26 - 2gekozen letters)

•Derde letter: 23 opties (26 - 3gekozen letters) Totaal aantal codes=1\cdot24\cdot23\cdot2=1104vierlettercodes.

Wanneer moet je optellen en wanneer vermenigvuldigen bij telproblemen?

Bij telproblemen gebruik je de vermenigvuldigingsregel wanneer er sprake is van een serie van keuzes die allemaal gemaakt moeten worden ("en"-situaties). Je gebruikt optellen wanneer er sprake is van verschillende, losstaande scenario's waaruit je kunt kiezen ("of"-situaties).

Voorbeeld: Reizen van A naar T

Je wilt van A naar T reizen. Je kunt kiezen om via plaats B te reizen, óf via plaats R te reizen.

•Van A naar B: 3 wegen

•Van B naar T: 3 wegen

•Van A naar R: 5 wegen

•Van R naar T: 2 wegen

Het aantal manieren om van A naar T via B te reizen:3\text{ (A naar B)} \cdot 3\text{ (B naar T)} = 9manieren. Het aantal manieren om van A naar T via R te reizen:5\text{ (A naar R)} \cdot 2\text{ (R naar T)} = 10manieren.

Omdat je óf via B óf via R reist, tel je de mogelijkheden op: Totaal aantal manieren= 9\text{ (via B)} + 10\text{ (via R)} = 19\text{ manieren}.

Voorbeeld: Draaischijven met kleuren

Kees draait drie schijven met gekleurde vakjes.

Hoeveel uitkomsten zijn er met drie gelijke kleuren?

Drie gelijke kleuren betekent óf alle drie blauw, óf alle drie geel, óf alle drie groen.

Allemaal blauw (BBB):

•Schijf 1: 1 blauw vakje

•Schijf 2: 1 blauw vakje

•Schijf 3: 1 blauw vakje Aantal manieren voor BBB=1\cdot1\cdot1=1

Allemaal geel (GeGeGe):

•Schijf 1: 1 geel vakje

•Schijf 2: 2 gele vakjes

•Schijf 3: 1 geel vakje Aantal manieren voor GeGeGe=1\cdot2\cdot1=2

Allemaal groen (GrGrGr):

•Schijf 1: 3 groene vakjes

•Schijf 2: 1 groen vakje

•Schijf 3: 1 groen vakje Aantal manieren voor GrGrGr=3\cdot1\cdot1=3

Totaal aantal uitkomsten met drie gelijke kleuren=1\text{ (BBB)}+2\text{ (GeGeGe)}+3\text{ (GrGrGr)}=6uitkomsten.

Hoeveel uitkomsten zijn er met twee gele en één groene?

Hier zijn drie mogelijke scenario's: geel-geel-groen (GeGeGr), geel-groen-geel (GeGrGe) of groen-geel-geel (GrGeGe).

Geel-geel-groen (GeGeGr):

•Schijf 1 (geel): 1 optie

•Schijf 2 (geel): 2 opties

•Schijf 3 (groen): 1 optie Aantal manieren voor GeGeGr=1\cdot2\cdot1=2

Geel-groen-geel (GeGrGe):

•Schijf 1 (geel): 1 optie

•Schijf 2 (groen): 1 optie

•Schijf 3 (geel): 1 optie Aantal manieren voor GeGrGe=1\cdot1\cdot1=1

Groen-geel-geel (GrGeGe):

•Schijf 1 (groen): 3 opties

•Schijf 2 (geel): 2 opties

•Schijf 3 (geel): 1 optie Aantal manieren voor GrGeGe=3\cdot2\cdot1=6

Totaal aantal uitkomsten met twee gele en één groene=2\text{ (GeGeGr)}+1\text{ (GeGrGe)}+6\text{ (GrGeGe)}=9uitkomsten.