Los op 3x^2-15x=0. Geef de oplossing(en) zo nodig in 2 decimalen.
Kwadratische vergelijkingen kunnen in eerste instantie misschien ingewikkeld lijken, maar ze zijn eigenlijk heel handig voor het oplossen van bepaalde soorten wiskundige problemen. In dit artikel leer je over kwadratische vergelijkingen en hoe je verschillende soorten kwadratische vergelijkingen kunt oplossen.
Soorten kwadratische vergelijkingen
Er zijn drie typen kwadratische vergelijkingen die je moet kennen:
1.De eerste is van de vorm x² = c, waarbij c een constante is. In dit geval willen we ontdekken wat x precies is. Een voorbeeld is de vergelijking x² = 9. Hier kunnen we x oplossen door het kwadraat op te heffen. Volgens de regels van wiskunde betekent dit dat we de wortel en de min-wortel van 9 nemen, want dit doen we ook bij x2. De wortel van x in het kwadraat is immers x. Dus de antwoorden zijnen.
2.De tweede vorm is ax² + bx = 0. In dit geval hebben we een vergelijking met een x² term, een term met alleen x, maar geen term zonder een x. Hier kunnen we een gemeenschappelijke factor x verwijderen. Bijvoorbeeld, als we kijken naar de vergelijking x² + 6x = 0 kunnen we een x buiten het haakje halen en dan krijgen we x(x + 6) = 0. Hier worden we dus voor x = 0 of x = -6.
3.Het derde type is ax² + bx + c = 0. In dit geval gebruiken we de som-product-methode voor het oplossen. Een voorbeeld kan zijn x² - 6x - 16 = 0. Hier is de somgetal -6 en het productgetal -16. Dit vergaat het verder uitwerken door bijvoorbeeld op zoek te gaan naar welke twee getallen met elkaar vermenigvuldigd -16 maken en tegelijkertijd bij elkaar opgeteld -6 maken. Dit wordt hieronder toegelicht.
Hoe werken we met kwadratische vergelijkingen?
Voor elk van deze soorten vergelijkingen moeten we de specifieke stappen volgen die geschikt zijn voor de vorm van de vergelijking waar we mee te maken hebben. Vaak is het nuttig om te starten met het vaststellen van de vorm van de vergelijking. Dit zorgt ervoor dat we zeker weten welke methode het meest bruikbaar is voor het oplossen van de vergelijking.
Hier hebben we een voorbeeld van een som-product-methode voor de derde vorm van de vergelijking die we zojuist hebben besproken. Daarvoor hebben we een somgetalletje en een productgetalletje. Deze kunnen we vinden door het getal dat zonder x staat en het getal dat alleen voor de x staat te gebruiken. De gegeven voorbeeldvergelijking is x² - 6x - 16 = 0. Hierbij is het somgetalletje -6 (de term voor de x) en het productgetalletje -16 (de term zonder x). Nu moet je dus kijken naar welke getallen samen gelijk aan -6 zijn en deze zelfde getallen moeten als je ze met elkaar vermenigvuldigt gelijk aan -16 zijn. Hiervoor kan je een tabel maken.
We zien dus dat de getallen 2 en -8 de juiste zijn. Dit betekent dat de vergelijking x² - 6x - 16 = 0 ook te schrijven is als (x - 8)(x + 2) = 0. Hieruit kunnen we concluderen dat er twee oplossingen voor x zijn, namelijk x = 8 en x = -2.
Speciale gevallen
Het is belangrijk om te weten dat er speciale gevallen kunnen optreden bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Een voorbeeld hiervan is de vergelijking x² = -1. In dit geval komen we er onmiddellijk achter dat we geen oplossing hebben omdat we niet de wortel uit een negatief getal kunnen trekken. Dat heet ook wel imaginair of complex getal.
