Gegeven driehoek DEF met zijden DE = 5, EF = 12 en DF = 13. Is driehoek DEF een rechthoekige driehoek? Leg uit waarom wel of waarom niet met behulp van de omgekeerde stelling van Pythagoras.
Omgekeerde stelling van Pythagoras
Stel, we hebben een driehoek ABC gegeven, waarbij AB = 6, BC = 8 en AC = 10. Hoe kunnen we met behulp van een berekening laten zien dat driehoek ABC inderdaad een rechthoekige driehoek is?
Als driehoek ABC rechthoekig is, dan moet de stelling van Pythagoras gelden. Maar wat is de stelling van Pythagoras ook alweer? In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekzijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Met 'rechthoekzijde' bedoelen we natuurlijk de zijden die in de rechte hoek samenkomen.
Maar hoe weten we welke de rechthoekzijden zijn? Dat is niet altijd zeker, tenzij we bevestigen dat het een rechthoekige driehoek is. Wat we wel zeker weten, is dat de schuine zijde altijd de langste zijde is.
Daarom kijken we eerst naar de langste zijden: AB = 6, BC = 8 en AC = 10. Hier lijkt AC de langste zijde te zijn, dus nemen we aan dat AC de schuine zijde is.
Vervolgens voeren we de stelling van Pythagoras uit: AB2 + BC2 moet gelijk zijn aan AC2. Als we dit invullen krijgen we 62 + 82 = 102. Dit geeft ons 36 + 64 = 100 aan beide kanten van de vergelijking. Aangezien beide zijden gelijk zijn, klopt de stelling van Pythagoras en is de driehoek ABC rechthoekig met hoek B als rechte hoek.
Oefening
Afbeelding 3: Driehoek PQR
Test jezelf nu met een oefening. Controleer met behulp van een berekening of driehoek PQR een rechthoekige driehoek is.
We zien dat de zijde PQ de langste is, dus nemen we aan dat dit onze schuine zijde is. Vervolgens voeren we de stelling van Pythagoras uit, PR2 + RQ2 moet gelijk zijn aan PQ2. Dat geeft ons 182 + 112 = 212, of 324 + 121 = 441.
Echter, als we 324 en 121 optellen krijgen we 445, wat niet gelijk is aan 441. Dit betekent dat de stelling van Pythagoras hier niet klopt, wat betekent dat driehoek PQR geen rechthoekige driehoek is.
