De stelling van Pythagoras toepassen

Opdracht 1: Vinden van een onbekende zijde

Onze eerste opdracht behandelt het vinden van een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek. Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarin één van de hoeken gelijk is aan 90 graden. We creëren een schets van een rechthoekige driehoek, labelen de hoeken als P, Q en R, waarbij Q de hoek van 90 graden is en de lengtes van de zijden PQ en PR zijn gegeven als respectievelijk 3 cm en 7 cm. Merk op dat je geen specifieke eenheid ziet, dus gaan we ervan uit dat we werken in een standaard eenheid zoals centimeters.

Om nu de onbekende zijde QR te berekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras. Deze stelling zegt dat PQ² + QR² = PR². Als we dit invullen met de bekende gegevens krijgen we 3² + QR² = 7², wat gelijk is aan 9 + QR² = 49. Dit betekent dus dat QR² = 40 en dus QR =\sqrt{40} = 6,3 cm.

Opdracht 2: Afstand tussen twee punten berekenen

De tweede opdracht gaat over het berekenen van de afstand tussen twee punten in een assenstelsel. We gebruiken weer de stelling van Pythagoras, maar ditmaal met coördinaten.

De punten A en B worden eerst geplot in het assenstelsel. Vervolgens tekenen we een rechthoekige driehoek met AB als de schuine zijde, en de horizontale en verticale zijden automatisch als de rechthoekzijden. De lengte van AB, de afstand tussen de punten, wordt dan berekend met de stelling van Pythagoras. In bovenstaande afbeelding is te zien dat zijde BC gelijk is aan 5 en AC is gelijk aan 2. Als we dit invullen in de stelling van Pythagoras krijgen we 5² + 2² =AB². Hieruit is af te leiden dat AB² gelijk is aan 29 en dus geldt er dat AB = \sqrt{29} = 5,39.

Opdracht 3: Hoogte berekenen in een gelijkbenige driehoek

In het derde voorbeeld werken we met een gelijkbenige driehoek, waarin twee zijden gelijk zijn. We tekenen weer een schets van de driehoek met zijden AB als 5 cm en AC en BC als 3 cm. Door een hoogtelijn te trekken van C naar AB creëren we twee aparte rechthoekige driehoeken met dezelfde eigenschappen.

Opnieuw passen we stelling van Pythagoras toe. We kunnen nu zijde AB verdelen in twee gelijken stukken van ieder lengte 2,5 cm. Door de gegevens in te vullen in de stelling van Pythagoras krijgen we 2,5² + CD² = 3². Dit geeft ons dat CD² = 2,75. Hieruit kunnen we concluderen dat CD = \sqrt{2,75} = 1,7 cm.

Opdracht 4: Het oplossen van een vijfhoek

Tot slot kijken we naar een ingewikkelder vorm, een vijfhoek met diverse gegeven zijden en één onbekende zijde, BC. We gebruiken een reeks strategische hulplijnen om eerst de zijde BD te vinden, waarna we de lengte van BC kunnen bepalen met de stelling van Pythagoras.

We kunnen de zijde BD bepalen door de stelling van Pythagoras toe te passen op de driehoek BDF. Dit resulteert in 10² + 20² = BD², en dus BD² = 500, wat ons geeft dat BD = \sqrt{500} . Nu we de zijde BD hebben bepaald kan ook de onbekende zijde BC bepaald worden met behulp van de stelling van Pythagoras. We weten nu namelijk dat geldt BC² + 18² = 500. Als we dit omschrijven, weten we dat BC² = 176 en dus BC = \sqrt{176} = 13,3.