sin(A) = c en cos(A) = c met in c wortels

sin(A) = c en cos(A) = c met in c wortels

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 11:42
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (14)Oefen de bijbehorende opgaven
Begrippen (10)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt goniometrische vergelijkingen van de vorm\sin(A)=cen\cos( A) = cexact oplossen.

•Je kunt de waardenc=-\frac{1}{2}\sqrt3,-\frac{1}{2}\sqrt2,-½,½,\frac{1}{2}\sqrt2,\frac{1}{2}\sqrt3herkennen en gebruiken bij het oplossen van deze vergelijkingen.

•Je kunt de eerste kwartcirkel van de exacte waardencirkel herleiden en zelf schetsen.

•Je kunt de algemene oplossingsmethoden voor sinus- en cosinusvergelijkingen toepassen, inclusief het gebruik van symmetrie en de termk \cdot 2π.

•Je kunt bepalen welke oplossingen binnen een gegeven domein (bijvoorbeeld\left\lbrack0,2\pi\right\rbrack) vallen.

De exacte waardencirkel

Een eenheidscirkel, alleen het eerste kwadrant weergegeven, met de hoeken 0, ⅙ π, ¼ π, ⅓ π, ½ π en de bijbehorende coördinaten
Een eenheidscirkel, alleen het eerste kwadrant weergegeven, met de hoeken 0, ⅙ π, ¼ π, ⅓ π, ½ π en de bijbehorende coördinaten

Om de waarden van het eerste kwadrant te onthouden, kun je de volgende truc gebruiken:

•Hoeken: Loop de hoeken op van klein naar groot:0,\frac16\pi,¼π,\frac13\pi,½π.

•x-coördinaat (cosinus): De x-coördinaat is in het eerste kwadrant altijd positief en wordt kleiner naarmate de hoek groter wordt (je beweegt van rechts naar links). De waarden zijn:

•Bij\frac16\pi(de kleinste hoek na0): Je bent nog niet ver van de x-as verwijderd, dus de x-coördinaat is de grootste van de speciale waarden:\frac{1}{2}\sqrt3.

•Bij¼π: Dit is het midden van het kwadrant. De x-coördinaat is dan\frac{1}{2}\sqrt2.

•Bij\frac13\pi: Je bent al flink richting de y-as, dus de x-coördinaat is de kleinste van de speciale waarden:½.

•y-coördinaat (sinus): De y-coördinaat is in het eerste kwadrant ook altijd positief en wordt groter naarmate de hoek groter wordt (je beweegt van onder naar boven). De waarden zijn precies het omgekeerde van de x-coördinaten:

•Bij\frac16\pi: Je bent nog niet ver op de y-as, dus de y-coördinaat is de kleinste:½.

•Bij¼π:\frac{1}{2}\sqrt2.

•Bij\frac13\pi: Je bent al flink richting de y-as, dus de y-coördinaat is de grootste:\frac{1}{2}\sqrt3.

Ezelsbruggetje: Voor de hoeken\frac16\pi,\frac14\pien\frac13\pizijn de cosinuswaarden (x-coördinaten) een aflopende reeks\frac12\sqrt3,\frac12\sqrt2en\frac12\sqrt1=\frac12. De sinuswaarden (y-coördinaten) zijn de oplopende reeks:\frac12\sqrt1=\frac12,\frac12\sqrt2en\frac12\sqrt3.

Goniometrische vergelijkingen oplossen

Voor het exact oplossen van goniometrische vergelijkingen van de vorm\sin( A) = cof\cos( A) = cvolg je een vast stappenplan:

1.Maak de sinus of cosinus vrij: Zorg ervoor dat de term\sin(\ldots)of\cos(\ldots)alleen staat aan één kant van de vergelijking. Dit betekent dat je eventuele factoren ervoor weghaalt door te delen of te vermenigvuldigen.

2.Bepaal de basishoek: Gebruik de exacte waardencirkel om de eerste basishoek (vaak aangeduid alsb) te vinden waarvoor\sin(b) = cof\cos(b) = c. Kies hierbij de kleinste positieve hoek.

3.Pas de algemene oplossing toe: Goniometrische functies zijn periodiek. Dit betekent dat er meerdere oplossingen zijn.

•Voor\sin(A)=c:

•A = b + k \cdot 2π(de basishoek plus hele rondjes)

•A = π - b + k \cdot 2π(vanwege de symmetrie van de sinus rond de y-as, plus hele rondjes)

•Voor\cos(A)=c:

•A = b + k \cdot 2π(de basishoek plus hele rondjes)

•A = -b + k \cdot 2π(vanwege de symmetrie van de cosinus rond de x-as, plus hele rondjes) Hierbij staatkvoor een willekeurig geheel getal (\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots).

4.Maak de variabele vrij: AlsAeen complexere uitdrukking is (bijvoorbeeld½x of3x - ½π), werk dan de vergelijkingen verder uit om de variabele (meestalx) vrij te maken.

5.Controleer het domein: Bepaal welke van de algemene oplossingen binnen het opgegeven domein vallen (bijvoorbeeld\left\lbrack0,2\pi\right\rbrack). Vul verschillende waarden voorkin (beginnend bij0, dan1,-1,2,-2, etc.) totdat de oplossingen buiten het domein vallen.

Eenheidscirkel waarop de twee oplossingen voor sin(A)=c (b en π-b) (links) en de twee oplossingen voor cos(A)=c (b en -b) zijn aangegeven (rechts).
Eenheidscirkel waarop de twee oplossingen voor sin(A)=c (b en π-b) (links) en de twee oplossingen voor cos(A)=c (b en -b) zijn aangegeven (rechts).

Voorbeeld 1: sinusvergelijking

Bereken exact de oplossingen in\left\lbrack0,2\pi\right\rbrackvan de vergelijking2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)=\sqrt2.

1.Maak de sinus vrij: 2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)=\sqrt2 \sin\left(\frac{1}{2}x\right)=\frac12\sqrt2

2.Bepaal de basishoek: We zoeken een hoekbwaarvoor\sin(b)=\frac{1}{2}\sqrt2. Volgens de exacte waardencirkel is dit voorb=\frac{1}{4}\pi.

3.Pas de algemene oplossing toe: Het argument isA=\frac12xen de basishoek isb=\frac14\pi. We passen de algemene oplossingsmethode voor sinus toe:

•\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}\pi+k\cdot2\pi

•\frac{1}{2}x=\pi-\frac{1}{4}\pi+k\cdot2\pi \frac{1}{2}x=\frac{3}{4}\pi+k\cdot2\pi

4.Maakxvrij: Vermenigvuldig beide kanten van de vergelijkingen met2:

•x = ½π + k \cdot 4π

•x = 1½π + k \cdot 4π

5.Controleer het domein\left\lbrack0,2\pi\right\rbrack:

•Voorx = ½π + k \cdot 4π:

•Alsk = 0, danx = ½π. Deze valt binnen het domein.

•Alsk = 1, danx = ½π + 4π = 4½π. Deze valt buiten het domein.

•Voorx=1\frac{1}{2}\pi+k\cdot4\pi:

•Alsk = 0, danx = 1½π. Deze valt binnen het domein.

•Alsk = 1, danx = 1½π + 4π = 5½π. Deze valt buiten het domein.

De exacte oplossingen in het domein\left\lbrack0,2\pi\right\rbrackzijnx = ½πenx = 1½π.

Voorbeeld 2: cosinusvergelijking

Bereken exact de oplossingen in\left\lbrack0,2\pi\right\rbrackvan de vergelijking2\cos(3x-\frac{1}{2}\pi)=-\sqrt3.

1.Maak de cosinus vrij: 2\cos(3x-\frac{1}{2}\pi)=-\sqrt3 \cos(3x-\frac{1}{2}\pi)=-\frac{1}{2}\sqrt3

2.Bepaal de basishoek: We zoeken een hoekbwaarvoor\cos(b)=-\frac{1}{2}\sqrt3. Uit de exacte waardencirkel (of door te redeneren dat de cosinus negatief is in het tweede en derde kwadrant, en\frac{1}{2}\sqrt3hoort bij\frac16\pivan de x-as) vinden web=\frac56\pi.

3.Pas de algemene oplossing toe: Het argument isA=3x-\frac12\pien de basishoek isb=\frac56\pi. We passen de algemene oplossingsmethode voor cosinus toe:

•3x-\frac{1}{2}\pi=\frac56\pi+k\cdot2\pi

•3x-\frac{1}{2}\pi=-\frac56\pi+k\cdot2\pi

4.Maakxvrij: Tel eerst aan beide kanten½πop (let op:\frac{1}{2}\pi=\frac36\pi):

•3x=\frac56\pi+\frac36\pi+k\cdot2\pi 3x=\frac86\pi+k\cdot2\pi 3x=\frac43\pi+k\cdot2\pi

•3x=-\frac56\pi+\frac36\pi+k\cdot2\pi 3x=-\frac26\pi+k\cdot2\pi 3x=-\frac13\pi+k\cdot2\pi

Deel nu beide kanten van de vergelijkingen door3:

•x=\frac49\pi+k\cdot\frac23\pi x=-\frac19\pi+k\cdot\frac23\pi

5.Controleer het domein\left\lbrack0,2\pi\right\rbrack:

•Voorx=\frac49\pi+k\cdot\frac23\pi(let op:\frac23{}\pi=\frac69\pi):

•k=0:x=\frac49\pi

•k=1:x=\frac49\pi+\frac69\pi=\frac{10}{9}\pi

•k=2:x=\frac49\pi+\frac{12}{9}\pi=\frac{16}{9}\pi

•k=3:x=\frac49\pi+\frac{18}{9}\pi=\frac{22}{9}\pi(Deze waarde valt buiten het domein, omdat\frac{22}{9}>2.)

•Voorx=-\frac19\pi+k\cdot\frac23\pi:

•k=0:x=-\frac19\pi(dit is negatief, dus buiten domein)

•k=1:x=-\frac19\pi+\frac69\pi=\frac59\pi

•k=2:x=-\frac19\pi+\frac{12}{9}\pi=\frac{11}{9}\pi

•k=3:x=-\frac19\pi+\frac{18}{9}\pi=\frac{17}{9}\pi

•k=4:x=-\frac19\pi+\frac{24}{9}\pi=\frac{23}{9}{}\pi(Deze waarde valt buiten het domein, omdat\frac{23}{9}>2.)

De exacte oplossingen in het domein\left\lbrack0,2\pi\right\rbrackzijnx=\frac49{}\pi,x=\frac59{}\pi,x=\frac{10}{9}{}\pi,x=\frac{11}{9}{}\pi,x=\frac{16}{9}\pienx=\frac{17}{9}\pi.

Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.