Logaritmische functie

Leerdoelen

•Je weet wat een logaritmische functie is.

•Je kunt de grafiek van een logaritmische functie bepalen.

•Je kunt het domein en bereik van een functie bepalen.

•Je kunt een logaritmische functie afleiden van de standaardfunctiey=^{g}\log_{}\left(x\right).y=^{g}\log_{}\left(x\right)y=^{g}\log_{}\left(x\right)y=^{g}\log_{}\left(\right)y=^{g}\log_{}y=^{g}\log_{\left(\placeholder{}\right)}y=^{g}\log_{\placeholder{}}y=^{g}loy=^{g}ly=^{g}y=yyy=y=\log_{g}y=\log_{g}\left(\right.y=\log_{g}\left(x\right.y=\log_{g}\left(x\right)y=\log_{g}\left(x\right).y=\log_{g}\left(x\right)y=\log_{g}\left(x\right)y=\log_{g}\left(\right)y=\log_{g}y=\logy=y=y=y=y=y

•Je kunt een logaritmische ongelijkheid oplossen.

Grafiek van een logaritmische functie

Om de grafiek vanf(x)=^2\log_{}\left(x\right)f(x)=^2\log_{}\left(\right)f(x)=^2\log_{}f(x)=^2\log_{\left(\placeholder{}\right)}f(x)=^2\log_{\placeholder{}}f(x)=^2lof(x)=^2lf(x)=^2f(x)=f(x)=\log_2f(x)=\log_2xf(x)=xf(x)=\log_2xf(x)=\log_2xf(x)=\log xf(x)=^{}\log xf(x)=^2\log xf(x)=\log xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=\log^2xf(x)=\log xf(x)=\log{2}xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=\log_2xf(x)=\log xf(x)=^{}\log xf(x)=^2\log xf(x)=\log xte begrijpen, vullen we een tabel in met verschillende waarden van\left(x\right)x)en berekenen we de bijbehorendey\text{-waarden.}yyyyyyyyyyyyyyyyHier is een voorbeeld van hoe je dat doet:

Voorx=\frac{1}{8},bereken je^2\log_{}\left(\frac18\right).^2\log_{}\left(\frac18\right)\log_2\frac{1}{8}^2\log_{}\left(\frac18\right)\log_2\frac{1}{8}^2\log_{}\left(\frac{1}{\placeholder{}}\right)\log_2\frac{1}{8}^2\log_{}\left(1\right)\log_2\frac{1}{8}^2\log_{}\left(\right)\log_2\frac{1}{8}^2\log_{}\log_2\frac{1}{8}^2\log_{\left(\placeholder{}\right)}\log_2\frac{1}{8}^2\log_{\placeholder{}}\log_2\frac{1}{8}^2lo\log_2\frac{1}{8}^2l\log_2\frac{1}{8}^2\log_2\frac{1}{8}\log\frac{1}{8}Dit betekent dat je de macht zoekt waartoe jemoet verheffen omte krijgen. Deze macht isis. Dus,f(x)=-3.

Voorx=1{,}krijg je^2\log_{}\left(1\right)=0.^2\log_{}\left(1\right)=0\log_2\left(1\right)=0^2\log_{}\left(1\right)=0\log_2\left(1\right)=0^2\log_{}\left(1\right)=\log_2\left(1\right)=0^2\log_{}\left(1\right)\log_2\left(1\right)=0^2\log_{}\left(1\right)\log_2\left(1\right)=0^2\log_{}\left(\right)\log_2\left(1\right)=0^2\log_{}\log_2\left(1\right)=0^2\log_{\left)\placeholder{}\right)}\log_2\left(1\right)=0^2\log_{\placeholder{}}\log_2\left(1\right)=0^2lo\log_2\left(1\right)=0^2l\log_2\left(1\right)=0^2\log_2\left(1\right)=0\log_2\left(1=0\right)\log_2\left(1\left(=0\right)\right)\log_2\left(1=0\right)\log_21=02\log_21=02\log_2_{\placeholder{}}1=02\log_{\placeholder{}}_{\placeholder{}}1=02\log\log_{\placeholder{}}_{\placeholder{}}1=02\log lo_{\placeholder{}}1=02\log l_{\placeholder{}}1=02\log\placeholder{}_{\placeholder{}}1=02\log1=02\log21=0

Voorx=8{,}krijg je^2\log_{}\left(8\right)=3.^2\log_{}\left(8\right)=3^2\log_{}\left(8\right)=^2\log_{}\left(8\right)^2\log_{}\left(\right)^2\log_{}^2\log_{\left(\placeholder{}\right)}^2\log_{\placeholder{}}^2lo^2loh^2lo^2l^2\log_2\log_2\left(\right.\log_2\left(8\right.\log_2\left(8\right)\log_2\left(8\right)=\log_2\left(8\right)=3\log_2\left(8\right)=3\log_2\left(8=3\right)\log_28=32\log_28=32\log\log_28=32\log\log_2_{\placeholder{}}8=32\log\log_{\placeholder{}}_{\placeholder{}}8=32\log lo_{\placeholder{}}8=32\log l_{\placeholder{}}8=32\log\placeholder{}_{\placeholder{}}8=3

Stijgend of dalend

Als het grondtal van een logaritmische functie tussenenligt, is de grafiek dalend. Als het grondtal bovenligt, is de grafiek stijgend. Het grondtal kan nooit kleiner zijn dan

Domein, bereik en asymptoten

•Domein: De logaritmische functie is gedefinieerd voorx>0.Dit betekent dat de grafiek nooit dey\text{-as}yyyyyyyyyyzal raken of eroverheen zal gaan.

•Bereik: Het bereik van de logaritmische functie is alle reële getallen(\mathbb{R}).

•Asymptoot: De lijnis de verticale asymptoot van de functie. Dit betekent dat de grafiek steeds dichter bij dekomt, maar deze nooit zal raken.

Variaties en transformaties

Als we de functie veranderen naarg(x)=^{\frac12}\log_{}\left(x\right),g(x)=^{\frac12}\log_{}\left(x\right)g(x)=\log_{\frac12}^{\frac12}\log_{}\left(x\right)g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}\log_{}\left(x\right)g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}\log_{}\left(x\right)g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}\log_{}\left(\right)g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}\log_{}g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}\log_{\left(\placeholder{}\right)}g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}\log_{\placeholder{}}g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}log(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}lg(x)=\log_{\frac12}x^{\frac12}g(x)=\log_{\frac12}x^{\frac{1}{\placeholder{}}}g(x)=\log_{\frac12}x^1g(x)=\log_{\frac12}xg(x)=\log_{\frac{1}{\placeholder{}}}xg(x)=\log_1xg(x)=\log xg(x)\log xg(x)=\log xg(x)=1\log xg(x)=\frac{1}{}\log xg(x)=\frac{1}{2}\log x(x)=\frac{1}{2}\log xzien we dat de grafiek een dalende lijn wordt. Dit komt doordat het grondtal tussenenligt.

Wanneer we de functie aanpassen naarf(x)=^2\log_{}\left(x+3\right),f(x)=^2\log_{}\left(x+3\right)f(x)=\log_2^2\log_{}\left(x+3\right)f(x)=\log_2(^2\log_{}\left(x+3\right)f(x)=\log_2(x^2\log_{}\left(x+3\right)f(x)=\log_2(x+^2\log_{}\left(x+3\right)f(x)=\log_2(x+3^2\log_{}\left(x+3\right)f(x)=\log_2(x+3)^2\log_{}\left(x+3\right)f(x)=\log_2(x+3)^2\log_{}\left(x+\right)f(x)=\log_2(x+3)^2\log_{}\left(x\right)f(x)=\log_2(x+3)^2\log_{}\left(\right)f(x)=\log_2(x+3)^2\log_{}f(x)=\log_2(x+3)^2\log_{\left(\placeholder{}\right)}f(x)=\log_2(x+3)^2\log_{\placeholder{}}f(x)=\log_2(x+3)^2lof(x)=\log_2(x+3)^2lf(x)=\log_2(x+3)^2f(x)=\log_2(x+3)f(x)=\log(x+3)verschuift de grafiek drie eenheden naar links. Dit heeft invloed op het domein, dat nuwordt.

Oplossen van logaritmische ongelijkheden

Bij het oplossen van een logaritmische ongelijkheid, zoals^{\frac13}\log_{}\left(x-2\right)+1\geq-1{,}^{\frac13}\log_{}\left(x-2\right)+1\geq-1\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{}\left(x-2\right)\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{}\left(x-2\right)\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{}\left(x-\right)\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{}\left(x\right)\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{}\left(\right)\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{}\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{\left(\placeholder{}\right)}\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{\placeholder{}}\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}lo\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}l\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac13}\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^{\frac{1}{\placeholder{}}}\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1^1\log_{\frac13}(x-2)+1\geq-1\log_{\frac{1}{\placeholder{}}}(x-2)+1\geq-1\log_1(x-2)+1\geq-1\log(x-2)+1\geq-1\log()x-2)+1\geq-1\log(x-2)+1\geq-11\log(x-2)+1\geq-1\frac{1}{}\log(x-2)+1\geq-1begin je met het oplossen van de bijbehorende vergelijking. Vervolgens schets je de grafiek om te bepalen voor welke waarden vande ongelijkheid geldt.

•Stap 1: Los de vergelijking^{\frac13}\log_{}\left(x-2\right)=-2\log_{\frac13}(x-2)=-2\log_{\frac{1}{\placeholder{}}}(x-2)=-2\log_1(x-2)=-2\log(x-2)=-21\log(x-2)=-2\frac{1}{}\log(x-2)=-2op.

•Stap 2: Schets de grafiek en bepaal het snijpunt met de lijny=-1.

•Stap 3: Bepaal het interval waarin de ongelijkheid geldt, rekening houdend met de asymptoot.

In dit geval geldt de ongelijkheid in het domein2<x\leq11.2<x\leq112<x\leq12<x\leq2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x2<x\geq2<x2<x2<x2<x2<x2<2\lang\lang2\lang2{,}\lang2{,}1\lang2{,}11\lang2{,}1\lang2{,}\lang2\lang