Wat zijn logaritmen?
De logaritme van een getal geeft aan welke exponent we moeten gebruiken om dat getal te krijgen.
Neem bijvoorbeeld de^2\log^2\log l^2\log lo^2\log log^2log^2log^2log^2log^2log^2log^2loglogvan8{,}8geschreven als ^2\log8.^2\log8^2\log^2^2^2^2^2Om die te berekenen, zoek je naar de macht vandie gelijk is aanWe weten dat:2^3=8.Dus devanisDit betekent dat als we met exponenten werken, de logaritme en exponentiële functies elkaar tegenwerken. Als je een logaritmische vergelijking hebt, kun je die omzetten naar een exponentiële vorm omop te lossen.
Ook andersom werkt dit. Als je een exponentiële vergelijking hebt, bijvoorbeeld2^{x}=8{,}2^{x}=82^{x}=8.2^{x}=82^{x}=2^{x}2dan kun je die omschrijven naar een logaritmische vorm omte vinden:x=^2\log8.x=^2\log8x=^2\log8)x=^28)x=^28)x=^28)x=^28)x=^28)x=^2;8)x=^28)x=8)x=(8)x=\text{2}(8)x=\text{2 }(8)x=\text{2 l}(8)x=\text{2 lo}(8)x=\text{2 log}(8)Omdatgelijk is aan2^3,(2^3,isgelijk aan
Complexere voorbeelden
Laten we nu een paar ingewikkeldere opgaven bekijken:
Opdracht 1
Los exact op:
7\cdot^2\log(3x-1)-4=317\cdot^2(3x-1)-4=317\cdot^2(3x-1)-4=317\cdot^2(3x-1)-4=317\cdot^2(3x-1)-4=317\cdot^2(3x-1)-4=317\cdot(3x-1)-4=317\cdot\text{2}(3x-1)-4=317\cdot\text{2 }(3x-1)-4=317\cdot\text{2 l}(3x-1)-4=317\cdot\text{2 lo}(3x-1)-4=317\cdot\text{2 log}(3x-1)-4=31
Voegtoe aan beide zijden: 7\cdot^2\log(3x-1)=357\cdot^2(3x-1)=357\cdot^2(3x-1)=357\cdot^2(3x-1)=357\cdot^2(3x-1)=357\cdot^2(3x-1)=357\cdot(3x-1)=357\cdot\text{2}(3x-1)=357\cdot\text{2 }(3x-1)=357\cdot\text{2 l}(3x-1)=357\cdot\text{2 lo}(3x-1)=357\cdot\text{2 log}(3x-1)=35
Deel beide zijden door
Om de logaritme te verwijderen, gebruik je exponenten:
Los nu verder op:
Opdracht 2
Los exact op:
Voegtoe aan beide zijden:
Deel beide zijden door
Neem devan beide zijden: 3x-1=^2\log53x-1=^2\log3x-1=^23x-1=^23x-1=^23x-1=^23x-1=^23x-1=3x-1=\text{2}3x-1=\text{2 }3x-1=\text{2 l}3x-1=\text{2 lo}3x-1=\text{2 log}3x-1=\text{2 log},3x-1=\text{2 log},(3x-1=\text{2 log},(5
Los voor x op: 3x=^2\log\left(5\right)+13x=^2\log5)+13x=^2\log5+13x=^2\log+13x=^2+13x=^2+13x=^2+13x=^2+13x=^2+13x=+13x=\text{2}+13x=\text{2 }+13x=\text{2 l}+13x=\text{2 lo}+13x=\text{2 log}+13x=\text{2 log},+13x=\text{2 log},(+13x=\text{2 log},(5+1 x=\frac{1}{3}\cdot\left(^2\log(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(^2(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(^2(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(^2(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(^2(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(^2(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left((5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(\text{2}(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(\text{2 }(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(\text{2 l}(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(\text{2 lo}(5)+1\right)x=\frac{1}{3}\cdot\left(\text{2 log}(5)+1\right)
Hierbij is het belangrijk om te realiseren dat devanniet altijd gemakkelijk kan worden geschreven als een macht vanSoms laat je het dus gewoon in die vorm staan.
