Bereken exact de afstand van het puntA\left(3{,}-1\right)A\left(3{,}-1\right)A\left(3{,}-\right)A\left(3{,}\right)A\left(3\right)A\left(\right)Atot de lijnk:5x+y=28k:5x+y=2k:5x+y=k:5x+yk:5x+k:5xk:5k:k.
Leerdoelen
•Je kunt de afstand van een punt tot een lijn berekenen.
De afstand van een punt tot een lijn
Loodrechte projectie
Om de afstand van een punt tot een lijn te berekenen, bepaal je eerst de loodrechte projectie van op . Deze projectie noemen we . De afstand tussen en is gelijk aan de afstand tussen
en .
Opstellen van een loodrechte lijn
Om te vinden, stel je een lijn op die loodrecht op staat en door gaat. De coëfficiënten a en b om te wisselen en bij een van de twee het teken te veranderen. Dus wordt
Voorbeeld: Berekening van de afstand
Laten we een voorbeeld bekijken waarin we de afstand van punt tot de lijn K:2x+8y=5 berekenen.
Stap 1: Opstellen van de loodrechte lijn
De lijn die loodrecht op staat, heeft de vergelijking . Om te berekenen, vul je de coördinaten van punt in:
Dus de vergelijking van lijn is 8x-2y=-14.8x-2y=-14).
Stap 2: Bepalen van het snijpunt
Om het snijpunt van de lijnen en te vinden, los je het volgende stelsel op:
Door de tweede formule te vermenigvuldigen met 4, kan je de termen gelijk maken en zo de elimineren. Hierdoor vind je . Vul in een van de vergelijkingen in om te vinden. Het snijpunt is dus .
Stap 3: Berekenen van de afstand
Gebruik de stelling van Pythagoras om de afstand tussen ente berekenen:
d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1--1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1--1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-a\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-\frac{1}{\placeholder{}}))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1,))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d\left(A,=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d\left(A=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d\left(=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k\right)==\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k\right)=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{A}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Af}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afs}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afst}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afsta}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afstan}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}
=\sqrt{(2\frac12)^2+10^2}=\sqrt{(\frac12)^2+10^2}=\sqrt{(\frac{1}{\placeholder{}})^2+10^2}=\sqrt{(1)^2+10^2}=\sqrt{()^2+10^2}=\sqrt{(2)^2+10^2}=\sqrt{(2)^2+10^2}n=\sqrt{(2)^2+10^2}=\sqrt{(21)^2+10^2}=\sqrt{(\frac{21}{\placeholder{}})^2+10^2}=\sqrt{(21)^2+10^2}=\sqrt{(2)^2+10^2}=\sqrt{(2,)^2+10^2}
=\sqrt{6\frac14+100}=\sqrt{\frac14+100}=\sqrt{\frac{1}{}+100}=\sqrt{\frac12+100}=\sqrt{\frac{1}{\placeholder{}}+100}=\sqrt{1+100}=\sqrt{+100}=\sqrt{6+100}=\sqrt{61+100}=\sqrt{6+100}=\sqrt{6,+100}=\sqrt{6,2+100}
=\sqrt{106\frac14}=\sqrt{10\frac14}=\sqrt{1\frac14}=\sqrt{\frac14}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\sqrt{\frac{101}{4}}=\sqrt{\frac{1061}{4}}=\sqrt{\frac{1061}{}}=\sqrt{\frac{1061}{3}}=\sqrt{\frac{1061}{}}=\sqrt{\frac{1061}{2}}=\sqrt{\frac{1061}{\placeholder{}}}=\sqrt{1061}=\sqrt{106}=\sqrt{106,}=\sqrt{106,2}
Om de wortel verder te vereenvoudigen, ontbind je106\frac1410\frac141\frac14\frac14\frac{1}{\placeholder{}}1 in factoren en breng je de grootste kwadraatfactor voor de wortel:
\sqrt{\frac{425}{4}}=\frac{5\sqrt{17}}{2}\sqrt{\frac{425}{4}4}=\frac{5\sqrt{17}}{2}\sqrt{\frac{425}{\placeholder{}}4}=\frac{5\sqrt{17}}{2}\sqrt{4254}=\frac{5\sqrt{17}}{2}
De afstand van punt tot lijn is dus \frac{5\sqrt{17}}{2}.\frac{5\sqrt{17}}{\placeholder{}}.5\sqrt{17}.(5\sqrt{17}.(5\sqrt{17}).(\sqrt{17}).(2\sqrt{17}).(2,\sqrt{17}).
