Hoe stel je een loodrechte lijn op?

Om een loodrechte lijn op te stellen, moet je de relatie tussen de richtingscoëfficiënten van twee loodrechte lijnen begrijpen.

Als je een lijn hebt in de algemene vorm $ax+by=c$, dan kun je de vergelijking van een lijn die daar loodrecht op staat vinden door de coëfficiënten van $x$ en $y$ om te wisselen en bij één van de twee het teken te veranderen. De nieuwe constante $C$ moet dan nog berekend worden, vaak door een punt in te vullen waar de loodrechte lijn doorheen gaat.

Voorbeeld: Stel, je hebt de oorspronkelijke lijn met de vergelijking $2x+8y=5$.

1. Identificeer de coëfficiënten van $x$ en $y$. In dit geval is $a=2$ en $b=8$.
2. Wissel de coëfficiënten om: de nieuwe coëfficiënt van $x$ wordt 8 en die van $y$ wordt 2.
3. Verander het teken van één van de nieuwe coëfficiënten. Je kunt kiezen om het teken van de $x$-coëfficiënt te veranderen (van 8 naar -8) of van de $y$-coëfficiënt (van 2 naar -2).
   • Als je het teken van de $y$-coëfficiënt verandert, krijg je $8x-2y=C$.
   • Als je het teken van de $x$-coëfficiënt verandert, krijg je $-8x+2y=C$ (wat ook geschreven kan worden als $8x-2y=-C$, dus in essentie hetzelfde).
4. De vergelijking van de loodrechte lijn is dus $8x-2y=C$. De waarde van $C$ hangt af van welk specifiek punt de loodrechte lijn moet passeren.

Uitleg met richtingscoëfficiënten: Een andere manier om dit te bekijken, is via de richtingscoëfficiënten.

• De richtingscoëfficiënt van een lijn in de vorm $ax+by=c$ is $m = -\frac{a}{b}$.
  • Voor $2x+8y=5$ is de richtingscoëfficiënt $m_1 = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
• Twee lijnen zijn loodrecht als het product van hun richtingscoëfficiënten -1 is ($m_1 \times m_2 = -1$).
• Dus, de richtingscoëfficiënt van de loodrechte lijn ($m_2$) moet zijn: $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4$.
• Nu heb je de richtingscoëfficiënt van de loodrechte lijn ($m_2=4$). Je kunt de formule van deze lijn opstellen als $y=4x+b$.
• Om dit om te zetten naar de vorm $ax+by=c$: $y=4x+b$ $-4x+y=b$ Dit is vergelijkbaar met $8x-2y=C$ als je de hele vergelijking met -2 vermenigvuldigt: $8x-2y=-2b$. De constante $C$ is dan gelijk aan $-2b$.

Beide methoden leiden tot dezelfde conclusie over de structuur van de loodrechte lijn.