Differentiëren

Differentiëren

In deze samenvatting gaan we in op het onderwerp differentiëren. We leren hoe je de formule van de afgeleide functie kunt opstellen aan de hand van enkele voorbeelden. We beginnen met een gegeven functie en werken onze weg naar de afgeleide.

De functie en de afgeleide

We starten met de functie . De afgeleide functie, oftewel de hellinggrafiek, laat zien hoe de helling van de functie verandert. Om deze afgeleide functie te vinden, kunnen we gebruikmaken van een grafische rekenmachine.

Stap 1: Functie plotten

•Voer de functie in bij y1y:1y:yi: .

•Ga naar y2y7727 en kies de optie voor het differentiëren (RIF).

•Vul in, zodat je de afgeleide van de functie voor allerlei waarden van x krijgt.

Hiervoor kun je de groene alpha-knop gebruiken om toegang te krijgen tot het menu waarin je kunt selecteren voor de functie.

Stap 2: Afgeleide grafiek analyseren

Als we de functie en de afgeleide functie plotten, zien we een blauwe lijn voor f\left(x\right)f\left(\right) en een rode lijn voor f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right). De rode lijn blijkt een lineaire lijn te zijn. Dit kan ons veel vertellen over de vorm van de afgeleide.

De afgeleide functie heeft de vormf^{\prime}(x)=ax+b(f^{\prime}(x)=ax+b(f^{\prime}(x)=ax+b)

Aangezien de rode lijn door de oorsprong gaat, kunnen we concluderen dat . Hierdoor wordt de afgeleide functie.

Stap 3: De richtingscoëfficiënt berekenen

Om de richtingscoëfficiënt te vinden:

Neem en vind de bijbehorende -coördinaat die is.

Bereken:

(\Delta y/\Delta x):a=\frac{3 - 0}{1 - 0}=3(\Delta y/\Delta x):[a=\frac{3 - 0}{1 - 0}=3(\Delta y/\Delta x):[a=\frac{3 - 0}{1 - 0}=3](\Delta/\Delta x):[a=\frac{3 - 0}{1 - 0}=3](\Delta i/\Delta x):[a=\frac{3 - 0}{1 - 0}=3] Daarom is .

Algemene regel voor afgeleiden

Deze aanpak kan algemeen worden samengevat:

Voor een functie van de vorm is de afgeleide functie: waarbij ( ) de oorspronkelijke exponent is.

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Functie met

•Neem de functie .

•Voer de functie in bij als .

•Plot de afgeleide functie:

•De blauwe lijn is en de rode lijn is de afgeleide functie, een horizontale lijn op hoogte . Dit betekent dat: f^{\prime}\left(x\right)=5f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)-f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(x\right)+f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f\left(\right)f\text{''}\left(\right)f\left(\right)ff\text{''}ff\text{''}f\text{''x}f\text{''}ff\text{''}ff\text{''}f\text{''(}f\text{''}ff\text{''}f\text{''(}f\text{''}f

Voorbeeld 2: Constante functie

Neem nu de functie .

Voer in bij y11 en plot de afgeleide functie.

Zowel de blauwe lijn voor als de rode lijn voor zijn horizontaal, maar de rode lijn ligt op de -as. Dit betekent dat:

Dit komt doordat de afgeleide van een constante altijd is.

Voorbeeld 3: Complexe functie

Laten we de functie differentiëren.

•Noteer de functie en schrijf.

•Voor 3x^2\rarr3\cdot2=63x^23\cdot2=63x^2:3\cdot2=63x^2:(3\cdot2=6 en de nieuwe exponent word \left(2-1\right)=1\left(2-1\right)1\left(2-\right)1\left(2\right)1\left(\right)1, dus .

•Voor : de afgeleide is .

•De constante leidt tot een afgeleide van .

De uiteindelijke afgeleide functie is:

Voorbeeld 4: Functie met haakjes

Een andere functie is .

Stap 1: Haakjes uitwerken

Voordat we gaan differentiëren, werken we de haakjes uit:

(3x-4)^2=9x^2-24x+16)((3x-4)^2=9x^2-24x+16).

Dit betekent:

Stap 2: Afgeleide functie

Nu differentiëren we:

Voor -9x^2\rarr-9\cdot2=-18-9x^2-9\cdot2=-18-9x^2(-9\cdot2=-18-9x^2:(-9\cdot2=-18 en de nieuwe exponent is \left(2-1\right)=1\left(2-1\right)=\left(2-1\right)\left(2-1\right.\left(2-\right.\left(2\right.\left(\right.\left(\right)\left(\right)1\left(\right)12\left(\right)12-\left(\right)12-1\left(\right)12-\left(\right)12\left(\right)1, dus .

Voor is de afgeleide .

En de constante levert op.