De afstand van een punt tot een lijn

Leerdoelen

•Je kunt de afstand van een punt tot een lijn berekenen.

De afstand van een punt tot een lijn

Loodrechte projectie

Om de afstand van een punt tot een lijn te berekenen, bepaal je eerst de loodrechte projectie van op . Deze projectie noemen we . De afstand tussen en is gelijk aan de afstand tussen

en .

Opstellen van een loodrechte lijn

Om te vinden, stel je een lijn op die loodrecht op staat en door gaat. De coëfficiënten a en b om te wisselen en bij een van de twee het teken te veranderen. Dus wordt

Voorbeeld: Berekening van de afstand

Laten we een voorbeeld bekijken waarin we de afstand van punt tot de lijn K:2x+8y=5 berekenen.

Stap 1: Opstellen van de loodrechte lijn

De lijn die loodrecht op staat, heeft de vergelijking . Om te berekenen, vul je de coördinaten van punt in:

Dus de vergelijking van lijn is 8x-2y=-14.8x-2y=-14).

Stap 2: Bepalen van het snijpunt

Om het snijpunt van de lijnen en te vinden, los je het volgende stelsel op:

Door de tweede formule te vermenigvuldigen met 4, kan je de termen gelijk maken en zo de elimineren. Hierdoor vind je . Vul in een van de vergelijkingen in om te vinden. Het snijpunt is dus .

Stap 3: Berekenen van de afstand

Gebruik de stelling van Pythagoras om de afstand tussen ente berekenen:

d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1--1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1--1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1\frac12)^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-a\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-\frac12))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-\frac{1}{\placeholder{}}))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1-(-1,))^2+(11-1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B\right)=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k\right)=d\left(A,B=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d\left(A,=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d\left(A=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d\left(=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,k\right)=d=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k\right)==\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k\right)=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}d\left(A,k=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A,=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(A=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d\left(=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\right)d=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{A}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Af}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afs}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afst}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afsta}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}\text{Afstan}=\sqrt{(1 - (-1,5))^2 + (11 - 1)^2}

=\sqrt{(2\frac12)^2+10^2}=\sqrt{(\frac12)^2+10^2}=\sqrt{(\frac{1}{\placeholder{}})^2+10^2}=\sqrt{(1)^2+10^2}=\sqrt{()^2+10^2}=\sqrt{(2)^2+10^2}=\sqrt{(2)^2+10^2}n=\sqrt{(2)^2+10^2}=\sqrt{(21)^2+10^2}=\sqrt{(\frac{21}{\placeholder{}})^2+10^2}=\sqrt{(21)^2+10^2}=\sqrt{(2)^2+10^2}=\sqrt{(2,)^2+10^2}

=\sqrt{6\frac14+100}=\sqrt{\frac14+100}=\sqrt{\frac{1}{}+100}=\sqrt{\frac12+100}=\sqrt{\frac{1}{\placeholder{}}+100}=\sqrt{1+100}=\sqrt{+100}=\sqrt{6+100}=\sqrt{61+100}=\sqrt{6+100}=\sqrt{6,+100}=\sqrt{6,2+100}

=\sqrt{106\frac14}=\sqrt{10\frac14}=\sqrt{1\frac14}=\sqrt{\frac14}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\sqrt{\frac{101}{4}}=\sqrt{\frac{1061}{4}}=\sqrt{\frac{1061}{}}=\sqrt{\frac{1061}{3}}=\sqrt{\frac{1061}{}}=\sqrt{\frac{1061}{2}}=\sqrt{\frac{1061}{\placeholder{}}}=\sqrt{1061}=\sqrt{106}=\sqrt{106,}=\sqrt{106,2}

Om de wortel verder te vereenvoudigen, ontbind je106\frac1410\frac141\frac14\frac14\frac{1}{\placeholder{}}1 in factoren en breng je de grootste kwadraatfactor voor de wortel:

\sqrt{\frac{425}{4}}=\frac{5\sqrt{17}}{2}\sqrt{\frac{425}{4}4}=\frac{5\sqrt{17}}{2}\sqrt{\frac{425}{\placeholder{}}4}=\frac{5\sqrt{17}}{2}\sqrt{4254}=\frac{5\sqrt{17}}{2}

De afstand van punt tot lijn is dus \frac{5\sqrt{17}}{2}.\frac{5\sqrt{17}}{\placeholder{}}.5\sqrt{17}.(5\sqrt{17}.(5\sqrt{17}).(\sqrt{17}).(2\sqrt{17}).(2,\sqrt{17}).