Normale verdeling 2

Bij het onderwerp binomiale verdeling, moet je denken aan het concept van succes of mislukking waarbij 'binomiaal' verwijst naar het idee van twee mogelijke uitkomsten: succes of mislukking.

Laten we een voorbeeld nemen met een situatie waarin je met 12 dobbelstenen gooit. In dit scenario is stochast X de kansvariabele waar we naar kijken, oftewel het aantal keer dat je een 6 gooit. Hier is de kans op succes, dat wil zeggen de kans om een 6 te gooien, één zesde. De vraag die we willen beantwoorden is: wat is de kans dat je meer dan vijf keer, maar minder dan tien keer een 6 gooit?

In dit geval hebben we te maken met de cumulatieve binomiale kansverdeling, die zich bezighoudt met de optelsom van een aantal successen. Dit is uit te rekenen met de binomcdf functie op de grafische rekenmachine.

Normale verdeling

De normale verdeling is een statistische verdeling die we in de vorige les hebben besproken. Kort samengevat, kan het op een situatie worden toegepast waar we te maken hebben met continue variabelen, zoals het vullen van flessen in een frisdrankfabriek. Hier zorgt de vulmachine ervoor dat de hoeveelheid frisdrank in elke fles licht varieert, hetgeen betekent dat elk vulproces uniek is.

In het artikel "Normale verdeling 1" wordt dit uitgelegd, alsook de normalcdf- en binomcdf-functies, die ons helpen bij het berekenen van de cumulatieve binomiale en normale verdelingen respectievelijk.

De somregel en de wortel-n-wet

In deze les zullen we dieper ingaan op het onderwerp van somregel en de wortel-n-wet.

Neem bijvoorbeeld een frisdrankfles, die is gemaakt van plastic (de verpakking) en de frisdrank zelf (de inhoud). Beide elementen hebben variërende gewichten, en worden bij elkaar opgeteld om het totale gewicht van de fles te krijgen.

Dit leidt ons naar de somregel: het totale gewicht van de fles (somvariabele S) is het gewicht van de plastic verpakking (variabele X) + het gewicht van de inhoud (variabele Y).

Om het somgemiddelde te berekenen, tel je simpelweg de gemiddelden van variabele X en Y bij elkaar op. Echter, de berekening van de standaarddeviatie, oftewel de somstandaarddeviatie, is iets complexer. \sigma_S = \sqrt{\sigma^{2}_{X} + \sigma^{2}_{Y}}

Een belangrijk punt om te onthouden is dat X en Y onafhankelijke variabelen moeten zijn voor deze berekeningen.

Steekproefgemiddelde met de wortel-n-wet

Laten we aannemen dat per pallet negen sixpacks worden geplaatst, wat neerkomt op 54 flessen. De vraag is nu, wat is de kans dat het gemiddelde gewicht van één fles tussen de 1630 en de 1640 gram zit? Het gemiddelde per fles is 1643 gram. De standaarddeviatie op het gewicht van een hele pallet is 30,2 gram.

Nu willen we niet de standaarddeviatie op het gewicht van een hele pallet weten, maar de standaarddeviatie op het gewicht van 1 fles. Om dit te berekenen passen we de\sqrt{n}-wet toe. We berekenen nu de standaarddeviatie van 1 fles door de standaarddeviatie van de hele pallet te delen door de wortel van het aantal flessen op die pallet. Dit resulteert in\sigma=\frac{30,2}{\sqrt{54}}=\sigma=\frac{30,2}{\sqrt{54}}4,11 gram.

De kans dat het gemiddelde gewicht van één fles tussen de 1630 en de 1640 gram zit te berekenen, doen we normalcdf(1630 ;1640 ;1634 ;4,11) = 0, 76261. De kans is dus ongeveer 76,3 %.

Een overgang van de normale verdeling naar de binomiale verdeling

Nu maken we de overstap van een continue situatie (de normale verdeling) naar een discrete situatie (de binomiale verdeling). Je moet goed kijken of je te maken hebt met een situatie die voortkomt uit de \sqrt{n}-wet, of je het totaal van meerdere zaken berekent, en of je het totaal van dezelfde variabelen berekent.

De kans dat het gemiddelde gewicht van één fles tussen de 1.630 en de 1.640 gram zit, blijkt dus ongeveer 0,7626 te zijn. Je weegt van 12 pallets alle flessen en berekent het gemiddelde gewicht per pallet. Bereken de kans dat voor meer 8 pallets geldt dat het gemiddelde gewicht tussen de 1.630 en de 1.640 gram zit. Hier is X = aantal keer succes, n = 12 en p = 0,7626. P(X > 8) = 1 - P(X ≤ 8) = 1 - binomcdf(12 ;0,7626 ;8) = 1 - 0,3125.. ≈ 0,6874. De kans is dus ongeveer 68,7 %.