Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat exponentiële groei is
•Je kunt een exponentiële formule opstellen
•Je kunt uitleggen wat de verdubbelingstijd is
•Je kunt uitleggen wat de halveringstijd is
Exponentiële groei
Als je een krantenvel één keer dubbelvouwt, verdubbelt de dikte van het papier. Vouw je het nog een keer, dan heb je een dikte van vier vellen. Dit gaat zo door als je blijft vouwen. De oppervlakte van het papier wordt steeds kleiner naarmate je het vouwt. Als je het zeven keer hebt gevouwen, is de oppervlakte bijvoorbeeld nog maar\frac{1}{128}deel van het oorspronkelijke vel. Deze groei in dikte en afname in oppervlakte tonen een exponentieel verband. De dikte van het papier is naNkeer vouwen met een factor2^{N}toegenomen en de oppervlakte is met een factor\frac{1}{2}^{N}afgenomen.
Wiskundige uitleg van exponentiële groei
Een exponentieel verband wordt vormgegeven met een formuley=ab^{x}, waarinyde uitkomst is,ahet begingetal,bde groeifactor enxde exponent.
Neem bijvoorbeeld de formuley=2^{x}. Alsx = 1, dan isy=2^1=2. Alsx = 2, dan isy=2^2=4. Enzovoort.
Daarentegen, als we kijken naar de formuley=\frac{1}{2}^{x}, dan zie je datyafneemt naarmatexgroeit. Bijx = 1, isy=\frac12^1=\frac12. Bijx = 2, is y=\frac12^2=\frac14. En steeds verder.
Een exponentieel verband kan zowel groei als afname weergeven.
Opstellen van een formule voor een exponentieel verband
Stel, je wilt een formule opstellen voor een exponentieel verband. Hiervoor kun je de basisformuley=ab^{x}gebruiken.
Voorbeeld 1
Stel, we hebben de punten\left(1,4\right)en\left(4;5,8\right)op een grafiek. We willen een formule die deze twee punten verbindt. Hiervoor moeten wea(het begingetal) enb(de groeifactor) uitrekenen. We weten daty, na3stappen vanx, verandert van4naar5,8. Dit betekent datb^3=\frac{5,8}{4}=1,45.
Ombte vinden, berekenen we nu de derdemachtswortel van1,45, wat onsb=\sqrt[3]{1{,}45}=1,13geeft.
Nu willen weavinden. Hiervoor gaan we terug naar onze oorspronkelijke y-waarde van4en delen we dit doorb. Hieruit volgta = \frac{4}{1,13}=3,53. Daarmee hebben we onze formule:y=3,53\cdot1,13^{x}.
Voorbeeld 2
We hebben de punten\left(2{,}14\right)en\left(4{,}6\right), waardoor we een exponentieel verband willen opstellen. We beginnen met de standaardformuley=ab^{x}en stellen een tabel op met de waarden die we al weten:
In de tabel zien we dat de grafiek in twee stappen van14naar6gaat. We stellen dan de volgende vergelijking opb^2=\frac{6}{14}\approx0{,}428. Als volgende willen we de groeifactor per tijdseenheid bepalen, dit doen we met behulp van de volgende vergelijking:b^{2^{\frac12}}=0{,}428\ldots^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65. We hebben dany=a\cdot0{,}65\ldots^{x}Ten slotte willen weaberekenen. Dit doen we door twee stappen terug te werken vanaf het punt\left(2{,}14\right):a=14\cdot0{,}65\ldots^{-2}\approx32{,}7. Onze uiteindelijke formule is dany=32{,}7\cdot0{,}65^{x}.
Halveringstijd en verdubbelingstijd
In contexten zoals radioactiviteit of populatiegroei worden de termen verdubbelingstijd en halveringstijd vaak gebruikt. De verdubbelingstijd verwijst naar de tijd die nodig is voor een hoeveelheid om te verdubbelen, terwijl de halveringstijd verwijst naar de tijd die nodig is voor een hoeveelheid om te halveren.
Verdubbelingstijd
Bijvoorbeeld, in een exponentieel groeiproces waarbij de hoeveelheid toeneemt met een factor van1,05per tijdseenheid (bijv. per jaar), kunnen we de verdubbelingstijd vinden door te zoeken naar de tijd waarop1,05^{x}gelijk is aan 2 — wat betekent dat de hoeveelheid is verdubbeld. Om dit wiskundig te bepalen, gebruiken we logaritmen:x=\frac{\log2}{\log1,05}\approx14{,}2jaar.
Halveringstijd
Negatieve exponenten kunnen worden gebruikt om een afname in de tijd weer te geven. De halveringstijd beschrijft hoelang het duurt voordat een hoeveelheid is gehalveerd. Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar een situatie met radioactief afval uit een kerncentrale. Stel dat je begint met een hoeveelheid radioactief afval dat gelijk staat aan de warmte productie van een1800watt kachel. Na100jaar is deze warmte productie verminderd tot die van3gloeilampen, ofwel180watt. Dit staat gelijk aan een groeifactor vang^{100}=\frac{180}{1800}=0{,}1. Als we beide kanten tot de macht \frac{1}{100}doen krijg je de groeifactor per jaar:g=0{,}1^{\frac{1}{100}}=0{,}977. Om te berekenen wat de halveringstijd is moeten we de vergelijking0{,}977^{x}=0{,}5oplossen. We vinden dat de halveringstijd van deze hoeveelheid ongeveer30jaar is, berekend door\frac{\log0,5}{\log0,977}te doen.
