Logaritmisch verband

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een logaritmisch verband is.

•Je kunt een exponentiële formule herleiden naar een logaritmische vorm.

Het grondtal

In een logaritmische functie zoalsy=\log_{g}xy=\log_{g}y=\log_{g}{m}=\log_{g}{m}f=\log_{g}{m}f\left(\right.=\log_{g}{m}f\left(x\right.=\log_{g}{m}, ishet grondtal. Het grondtal moet altijd groter zijn dan, maar mag geenzijn. We kunnen een onderscheid maken tussen een grondtal dat ligt tussenen, en een grondtal dat groter is dan.

In bovenstaande afbeelding zijn de grafieken van exponentiële en hun bijbehorende logaritmische functies te zien. De rode lijn is van de functiey=g^{x}y=gen de blauwe lijn is van de functiey=\log_{g}{x}y\log_{g}{x}\log_{g}{x}.

Het verband tussen logaritme en machtsverheffen

Een logaritme is de omgekeerde bewerking van een macht met een variabel exponent. Hierbij betekent 'macht' simpelweg het grondtal tot de macht van de exponent,m=g^{e}\left(m=g^{e}\right)m=g^{e}m=g^{}m=g^3m=g^{3e}m=g^3m=g^{}m=g^2m=g.

We zien dit terug in de logaritmische functiey=\log_{g}{m}=\log_{g}{m}f=\log_{g}{m}f\left(\right.=\log_{g}{m}f\left(x\right.=\log_{g}{m}. Dat exponent, 'e', kun je berekenen door de logaritme met grondtal ‘g’ van de macht ‘m’ te nemen:e=\log_{g}{m}e\log_{g}{m}\log_{g}{m}.

We kijken naar de grafiek vany=g^{x}y=^{x}y=2^{x}y=2. Als deze grafiek in de lijnwordt gespiegeld, wordt elke-waarde de-waarde en elke-waarde de-waarde. Het resultaat is de grafiek vany=\log_{g}{x}y\log_{g}{x}\log_{g}{x}2{x}{x}\log_{g}{x}.

Herleiden van een logaritmische functie

Met behulp van het logaritmisch verband kun je exponentiële formules zoalsQ=35^{P}Q=35omschrijven, waarbij je het exponent kunt herleiden. In dit geval wordt hetP=\log_{35}{Q}P\log_{35}{Q}\log_{35}{Q}. Een handig ezelsbruggetje dat je kunt onthouden is dat2^3=82=8en\log_2{8}=3\log_2{8}=\log_{2}{8}.

Een ander voorbeeld is de formuleD=6^{A-2}+7D=6^{A-2}+D=6^{A-2}D=6^{A-}D=6^{A}D=6D=D. Omuit te drukken in, herleid je de formule als volgt:

D-7=6^{A-2}D-7=6^{A-2}\rightarrowD-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrowD-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6\left(D-7\right)+2D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6\left(D-7\right)+D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6\left(D-\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6\left(D\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6\left(\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\log_6D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=\logD-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow A=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrow AD-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)\rightarrowD-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-7\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D-\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(D\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6\left(\right)D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_6D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\logD-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\log_{D}D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=\logD-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2=D-7=6^{A-2}\rightarrow A-2D-7=6^{A-2}\rightarrow A-D-7=6^{A-2}\rightarrow AD-7=6^{A-2}\rightarrowD-7=6^{A-2}D-7=6^{A-2}D-7=6^{A-2}D-7=6^{A-2}D-7=6^{A-2}D-7=6^{A-2}D-7=6^{A-}D-7=6^{A}D-7=6^{}D-7=6^1D-7=6D-7=D-7=AD-7=D-7D-D

Als laatst een voorbeeld met de formuleB=2\cdot4^{G+0{,}2}-17B=2\cdot4^{G+0{,}2}-1B=2\cdot4^{G+0{,}2}-B=2\cdot4^{G+0{,}2}B=2\cdot4^{G+0{,}}B=2\cdot4^{G+0}B=2\cdot4^{G+}B=2\cdot4^{G}B=2\cdot4B=2\cdotB=2B=B.moet uitgedrukt worden in, dus je doet:

B+17=2\cdot4^{G+0{,}2}B+17=2\cdot4^{G+0{,}}B+17=2\cdot4^{G+0}B+17=2\cdot4^{G+}B+17=2\cdot4^{G}B+17=2\cdot4B+17=2\cdotB+17=2B+17=B+17B+1B+16B+1B+B

\frac{B+17}{2}=4^{G+0{,}2}\frac{B+17}{2}=4^{G+0{,}}\frac{B+17}{2}=4^{G+0}\frac{B+17}{2}=4^{G+}\frac{B+17}{2}=4^{G}\frac{B+17}{2}=4\frac{B+17}{2}=\frac{B+17}{2}\frac{B+17}{\placeholder{}}B+17B+1B+BB=B=1B=17B=\frac{17}{\placeholder{}}B=17B=1B=B

G+0{,}2=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)G+0{,}2=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)G+0{,}2=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\left(\right.\right)G+0{,}2=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\left(\right.\right)G+0{,}2=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\left(\right.\right)G+0{,}2=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\left(\right.\right)G+0{,}2=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\left(\right)\right)G+0{,}2=\log_4\frac{B+17}{2}\left(\right)G+0{,}2=\log_4)\frac{B+17}{2}\left(\right)G+0{,}2=\log_4\frac{B+17}{2}\left(\right)G+0{,}2=\log_4\frac{B+17}{\placeholder{}}\left(\right)G+0{,}2=\log_4\left(B+17\right)G+0{,}2=\log_4\left(B+1\right)G+0{,}2=\log_4\left(B+\right)G+0{,}2=\log_4\left(B\right)G+0{,}2=\log_4\left(\right)G+0{,}2=\log_4G+0{,}2=\logG+0{,}2=G+0{,}2=G+0{,}2=G+0{,}2=G+0{,}2=G+0{,}2G+0{,}G+0G+G

G=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)-0{,}2G=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)-0{,}G=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)-0G=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)-G=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)G=\log_4\left(\frac{B+17}{2}\right)G=\log_4\left(\frac{B+1}{2}\right)G=\log_4\left(\frac{B+}{2}\right)G=\log_4\left(\frac{B}{2}\right)G=\log_4\left(\frac{B}{\placeholder{}}\right)G=\log_4\left(B\right)G=\log_4\left(\right)G=\log_4G=\logG=G=G=G=G=G