Exponentieel verband (halveringstijd en verdubbelingstijd)

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat exponentiële groei is

•Je kunt een exponentiële formule opstellen

•Je kunt uitleggen wat de verdubbelingstijd is

•Je kunt uitleggen wat de halveringstijd is

Exponentiële groei

Als je een krantenvel één keer dubbelvouwt, verdubbelt de dikte van het papier. Vouw je het nog een keer, dan heb je een dikte van vier vellen. Dit gaat zo door als je blijft vouwen. De oppervlakte van het papier wordt steeds kleiner naarmate je het vouwt. Als je het zeven keer hebt gevouwen, is de oppervlakte bijvoorbeeld nog maar\frac{1}{128}\large{\frac{1}{128}}\frac{1}{128}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}\large{\frac{1}{128}}deel van het oorspronkelijke vel. Deze groei in dikte en afname in oppervlakte tonen een exponentieel verband. De dikte van het papier is nakeer vouwen met een factor2^{N}2toegenomen en de oppervlakte is met een factor\frac{1}{2}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\frac{1}{2}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}\large{\frac{1}{2}}^{N}afgenomen.

Wiskundige uitleg van exponentiële groei

Een exponentieel verband wordt vormgegeven met een formuley=ab^{x}y=aby=ab\timesy=ab, waarinde uitkomst is,het begingetal,de groeifactor ende exponent.

Neem bijvoorbeeld de formuley=2^{x}y=2. Als, dan isy=2^1=2y=2=2. Als, dan isy=2^2=4y=2=4. Enzovoort.

Daarentegen, als we kijken naar de formuley=\frac{1}{2}^{x}y=\left(\right.\frac{1}{2}^{x}y=\left(1\right.\frac{1}{2}^{x}y=\left(\frac{1}{}\right.\frac{1}{2}^{x}y=\left(\frac{1}{2}\right.\frac{1}{2}^{x}y=\left(\frac{1}{2}{}\right.\frac{1}{2}^{x}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)\frac{1}{2}^{x}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{}\frac{1}{2}^{x}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{x}\frac{1}{2}^{x}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{x}\frac{1}{2}^{}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{x}\frac{1}{2}^{N}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{x}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{N}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{N}y=\frac{1}{2}{}^{N}y=\left(\frac{1}{2}{}\right.^{N}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)^{N}y=\left(\frac{1}{2}{}\right)y=\frac{1}{2}{})y=\frac{1}{2}{}y=\frac{1}{2}{}^{}y=\frac{1}{2}{}^{N}y=\frac{1}{2}{}y=\frac{1}{2}{}\large^{}y=\frac{1}{2}\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=f\large{}^{N}y=fr\large{}^{N}y=fra\large{}^{N}y=frac\large{}^{N}y=frac{1}\large{}^{N}y=frac{1}{2}\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y=\large{}^{N}y = \large{\frac{1}{2}}^{N}, dan zie je datafneemt naarmategroeit. Bij, isy=\frac12^1=\frac12y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1=y=\frac12^1y=\frac12^1y=\frac12y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=yy=\frac{1}{2}\large{}^1y=\large{}^1y = \large{\frac{1}{2}}^{1}. Bij, is y=\frac12^2=\frac14y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2=y=\frac12^2y=\frac12y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=yyy=y=1y=\frac{1}{}y=\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\large^{}y=\frac{1}{2}\large^2y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=1y=\frac{1}{2}\large^2=\frac{1}{}y=\frac{1}{2}\large^2=\frac14y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2=y=\frac{1}{2}\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=f\large^2y=fr\large^2y=fra\large^2y=frac\large^2y=frac{1}\large^2y=frac{1}{2}\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y=\large^2y = \large{\frac{1}{2}}^{2}. En steeds verder.

Een exponentieel verband kan zowel groei als afname weergeven.

Opstellen van een formule voor een exponentieel verband

Stel, je wilt een formule opstellen voor een exponentieel verband. Hiervoor kun je de basisformuley=ab^{x}y=abgebruiken.

Voorbeeld 1

Stel, we hebben de punten\left(1,4\right)\left(1,4\right)en\left(4;5,8\right)\left(;5,8\right)\left(1;5,8\right)\left(1;5,8\right)op een grafiek. We willen een formule die deze twee punten verbindt. Hiervoor moeten we(het begingetal) en(de groeifactor) uitrekenen. We weten dat, nastappen van, verandert vannaar. Dit betekent datb^3=\frac{5,8}{4}=1,45b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3b^3b^{}b^2b^{23}b^2bnb^3=fracP{5,8}{4}=1,45b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3=b^3b^3b.

Omte vinden, berekenen we nu de derdemachtswortel van, wat onsb=\sqrt[3]{1{,}45}=1,13b=\sqrt[3]{1{,}4}=1,13b=\sqrt[3]{1{,}}=1,13b=\sqrt[3]{1{,}5}=1,13b=\sqrt[3]{1{,}54}=1,13b=\sqrt[3]{1{,}5}=1,13b=\sqrt[3]{1{,}}=1,13b=\sqrt[3]{1}=1,13b=\sqrt[3]{}=1,13b=\sqrt[3]{1}=1,13b=\sqrt[3]{1,}=1,13b=\sqrt[3]{1,1}=1,13b=\sqrt[3]{1,13}=1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13b==1,13geeft.

Nu willen wevinden. Hiervoor gaan we terug naar onze oorspronkelijke y-waarde vanen delen we dit door. Hieruit volgt. Daarmee hebben we onze formule:y=3,53\cdot1,13^{x}y=3,53\cdot1,13.

Voorbeeld 2

We hebben de punten\left(2{,}14\right)\left(2{,}1\right)\left(2{,}\right)\left(2{,}\right)1\left(2{,}\right)14\left(2{,}\right)1\left(2{,}\right)\left(2\right)\left(\right)\left(\right)en\left(4{,}6\right)\left(4{,}\right)\left(4{,}7\right)\left(4{,}\right)\left(4\right)\left(\right)\left(\right), waardoor we een exponentieel verband willen opstellen. We beginnen met de standaardformuley=ab^{x}y=a^{x}y=^{x}y=a^{x}y=ab^{x}y=aby=ay=yen stellen een tabel op met de waarden die we al weten:

In de tabel zien we dat de grafiek in twee stappen vannaargaat. We stellen dan de volgende vergelijking opb^2=\frac{6}{14}\approx0{,}428^2=\frac{6}{14}\approx0{,}428g^2=\frac{6}{14}\approx0{,}428g^2=\frac{6}{14}\approx0{,}42g^2=\frac{6}{14}\approx0{,}4g^2=\frac{6}{14}\approx0{,}g^2=\frac{6}{14}\approx0g^2=\frac{6}{14}\approxg^2=\frac{6}{14}g^2=\frac{6}{14}g^2=\frac{6}{14}g^2=\frac{6}{14}g^2=\frac{6}{14}g^2=\frac{6}{14}=g^2=\frac{6}{14}g^2=\frac61g^2=\frac{6}{\placeholder{}}g^2=6g^2=g^2g. Als volgende willen we de groeifactor per tijdseenheid bepalen, dit doen we met behulp van de volgende vergelijking:b^{2^{\frac12}}=0{,}428\ldots^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b\approx0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow b=0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow=0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow gb=0{,}65b^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=0{,}65^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=0{,}65g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=0{,}65g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=0{,}6g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=0{,}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=0g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow g=g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrow gg^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}\rightarrowg^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac12}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^{\frac{1}{\placeholder{}}}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^1g^{2^{\frac12}}=\frac{0{,}428^1}{\placeholder{}}g^{2^{\frac12}}=0{,}428^1g^{2^{\frac12}}=0{,}428g^{2^{\frac12}}=0{,}42g^{2^{\frac12}}=0{,}4g^{2^{\frac12}}=0{,}g^{2^{\frac12}}=0g^{2^{\frac12}}=g^{2^{\frac12}}g^{2^{\frac{1}{\placeholder{}}}}g^{2^1}g^{\frac{2^1}{}}g^{\frac{2^1}{2}}g^{\frac{2^1}{\placeholder{}}}g^{2^1}g^2gg^{}g^2g^2g. We hebben dany=a\cdot0{,}65\ldots^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}ya\cdot0{,}65^{x}ya\cdot0{,}65^{x}ya\cdot0{,}65^{x}ya\cdot0{,}65^{x}ya\cdot0{,}65^{x}ya\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65y=a\cdot0{,}6y=a\cdot0{,}y=a\cdot0y=a\cdoty=ay=yTen slotte willen weberekenen. Dit doen we door twee stappen terug te werken vanaf het punt:a=14\cdot0{,}65\ldots^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}7a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32{,}a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx32a=14\cdot0{,}65^{-2}\approx3a=14\cdot0{,}65^{-2}\approxa=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-2}a=14\cdot0{,}65^{-}a=14\cdot0{,}65a=14\cdot0{,}6a=14\cdot0{,}a=14\cdot0a=14\cdota=14a=1a==b=b. Onze uiteindelijke formule is dany=32{,}7\cdot0{,}65^{x}y=32{,}\cdot0{,}65^{x}y=32\cdot0{,}65^{x}y=3\cdot0{,}65^{x}y=\cdot0{,}65^{x}y=a\cdot0{,}65^{x}y=a3\cdot0{,}65^{x}y=a32\cdot0{,}65^{x}y=a3\cdot0{,}65^{x}.

Halveringstijd en verdubbelingstijd

In contexten zoals radioactiviteit of populatiegroei worden de termen verdubbelingstijd en halveringstijd vaak gebruikt. De verdubbelingstijd verwijst naar de tijd die nodig is voor een hoeveelheid om te verdubbelen, terwijl de halveringstijd verwijst naar de tijd die nodig is voor een hoeveelheid om te halveren.

Verdubbelingstijd

Bijvoorbeeld, in een exponentieel groeiproces waarbij de hoeveelheid toeneemt met een factor vanper tijdseenheid (bijv. per jaar), kunnen we de verdubbelingstijd vinden door te zoeken naar de tijd waarop1,05^{x}\cdot1,05^{x}\cdot1,05gelijk is aan 2 — wat betekent dat de hoeveelheid is verdubbeld. Om dit wiskundig te bepalen, gebruiken we logaritmen:x=\frac{\log2}{\log1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{l1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{lo1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{log1,05}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{log\left.1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{\log2}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{\log2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{\log(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{l(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{lo(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}2x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14{,}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\approx14x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\approx1x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\approxx=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x=\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}x\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\frac{log(2)}{log\left(1,05\right)}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\frac{log(2)}{log(1,05}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\frac{log(2)}{log(1,05})\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}\large{\frac{log(2)}{log(1,05)}}jaar.

Halveringstijd

Negatieve exponenten kunnen worden gebruikt om een afname in de tijd weer te geven. De halveringstijd beschrijft hoelang het duurt voordat een hoeveelheid is gehalveerd. Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar een situatie met radioactief afval uit een kerncentrale. Stel dat je begint met een hoeveelheid radioactief afval dat gelijk staat aan de warmte productie van eenwatt kachel. Najaar is deze warmte productie verminderd tot die vangloeilampen, ofwelwatt. Dit staat gelijk aan een groeifactor vang^{100}=\frac{180}{1800}=0{,}1g^{100}=\frac{180}{180}=0{,}1g^{100}=\frac{1800}{180}=0{,}1g^{100}=\frac{1800}{180}=0{,}g^{100}=\frac{1800}{180}=0g^{100}=\frac{1800}{180}=g^{100}=\frac{1800}{180}g^{100}=\frac{1800}{18}g^{100}=\frac{1800}{1}g^{100}=\frac{1800}{\placeholder{}}g^{100}=1800g^{100}=180g^{100}=18g^{100}=1g^{100}=g^{100}g^{10}g^1g^10g^100g^10g^1g. Als we beide kanten tot de macht \frac{1}{100}\frac{1}{10}\frac11\frac{1}{\placeholder{}}1doen krijg je de groeifactor per jaar:g=0{,}1^{\frac{1}{100}}=0{,}977g=0{,}1^{\frac{1}{100}}=0{,}97g=0{,}1^{\frac{1}{100}}=0{,}9g=0{,}1^{\frac{1}{100}}=0{,}g=0{,}1^{\frac{1}{100}}=0g=0{,}1^{\frac{1}{100}}=g=0{,}1^{\frac{1}{100}}g=0{,}1^{\frac{1}{10}}g=0{,}1^{\frac11}g=0{,}1^{\frac{1}{\placeholder{}}}g=0{,}1^1g=\frac{0{,}1^1}{\placeholder{}}g=0{,}1^1g=0{,}1g=0{,}g=0g=gg. Om te berekenen wat de halveringstijd is moeten we de vergelijking0{,}977^{x}=0{,}50{,}977^{x}=0{,}0{,}977^{x}=00{,}977^{x}=0{,}977^{x}0{,}9770{,}970{,}90{,}0oplossen. We vinden dat de halveringstijd van deze hoeveelheid ongeveerjaar is, berekend door\frac{\log0,5}{\log0,977}\frac{\log0,5}{\log0,977)}\frac{\log0,5}{0,977)}\frac{\log0,5}{0,977)}\frac{\log0,5}{0,977)}\frac{\log0,5}{0,977)}\frac{\log0,5}{0,977)}\frac{\log0,5}{l0,977)}\frac{\log0,5}{lo0,977)}\frac{\log0,5}{log0,977)}\frac{\log0,5}{log(0,977)}\frac{\log0,5)}{log(0,977)}\frac{0,5)}{log(0,977)}\frac{0,5)}{log(0,977)}\frac{0,5)}{log(0,977)}\frac{0,5)}{log(0,977)}\frac{0,5)}{log(0,977)}\frac{l0,5)}{log(0,977)}\frac{lo0,5)}{log(0,977)}\frac{log0,5)}{log(0,977)}\frac{log(0,5)}{log(0,977)}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\frac{log(0,5)}{log(0,977)}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}\large{\frac{log(0,5)}{log(0,977)}}te doen.