Hoe ver is de horizon?

Bij helder weer geldt: naarmate je hoger staat, kun je verder kijken. Maar is het ook zo dat je tweemaal zo ver kunt kijken als je tweemaal zo hoog staat? Dat onderzoeken we in deze opgave.

Daarvoor maken we een model: we beschouwen de aarde als een gladde bol. Zie de figuur.

De ogen van een waarnemer staan in punt$Aen de waarnemer kan tot punt$Hkijken: zó ver reikt zijn horizon. Punt$Mis het middelpunt van de aarde. Lijnstuk$M His een straal van de aarde;$M H=6371 \mathrm{~km}. De lengte van lijnstuk$M Ais 6371 km plus de hoogte van$Aboven de grond. De hoogte van$Aboven de grond noemen we$x(in kilometers).

Driehoek$A H Mis rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras$A H^{2}+H M^{2}=A M^{2}kunnen we nu de afstand$A H(in kilometers) uitdrukken in$x:

\,\,\,\,\,AH=\sqrt{12742 x+x^{2}}