Numeriek modelleren

Leerdoelen

•Je kunt het verschil tussen natuurwetten, modellen en modelleren uitleggen.

•Je kunt vier natuurkundige principes benoemen en uitleggen.

•Je kunt vier verschillende modellen onderscheiden en hun kenmerken beschrijven.

•Je kunt uitleggen hoe een numeriek model is opgebouwd.

•Je kunt een grafisch model en een tekstmodel beschrijven en het verschil ertussen aangeven.

Wat is een natuurwet?

Een natuurwet is een beschrijving van een wetmatigheid die een verband of een vergelijking geeft tussen twee concepten of grootheden. Natuurwetten worden in de natuurkunde vaak in een formule gevat en vormen de basis voor het modelleren van natuurkundige verschijnselen. Voorbeelden zijn de formule voor een eenparige beweging (s=v\cdot t), behoudswetten zoals het behoud van energie in een afgesloten systeem, of de tweede wet van Newton (F = m \cdot a). Natuurwetten zijn door mensen bedacht en zijn geldig totdat er een tegenbewijs is. Soms bevatten natuurwetten natuurconstanten, zoals de gravitatieconstante of de snelheid van het licht. Een natuurwet kan ook pas gelden vanaf een bepaalde voorwaarde.

Welke principes gelden voor natuurwetten?

Voor natuurwetten gelden vier belangrijke principes die hun aard beschrijven:

1.Universaliteit: een natuurkundige wet geldt overal en altijd, zowel in het verleden als in de toekomst, op elke locatie (bijvoorbeeld hier of op Mars) en bij elke temperatuur.

2.Schaalonafhankelijkheid: een wet geldt op elke schaal, ongeacht of deze van toepassing is op een klein deel van de wereld of op de hele wereld.

3.Orde van grootte: dit principe houdt in dat je de omvang van een grootheid uitdrukt in de macht van tien die er het dichtst bij ligt. Bepaal hiervoor eerst de wetenschappelijke notatie van de grootheid en kies vervolgens de macht van tien die het dichtst bij de waarde ligt.

•Een lengte van 1,75 meter heeft een orde van grootte van10^0meter (omdat het dichtst bij 1 zit, en10^0 = 1).

•Een afstand van 200 kilometer (wat overeenkomt met2\cdot10^5meter) heeft een orde van grootte van10^5meter.

4.Analogie: het toepassen van een vergelijking of voorbeeld uit een ander domein om een abstract natuurkundig concept te verduidelijken. Een voorbeeld is het vergelijken van vrachtwagens die hout rondbrengen met de stroomsterkte (aantal elektronen) in een stroomkring.

Wat is een model?

Een model is een imitatie of een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Het doel van een model is om een verband tussen een oorzaak en een gevolg na te bootsen. Modellen hebben vaak grenzen wat betreft hun toepasbaarheid en betrouwbaarheid; ze verklaren niet alles, maar zijn specifiek voor bepaalde verschijnselen. Het deeltjesmodel kan bijvoorbeeld de fasen (vast, vloeibaar, gas) van een stof goed verklaren, maar niet alle andere eigenschappen van de stof.

Welke verschillende soorten modellen zijn er?

Er zijn verschillende soorten modellen die in de natuurkunde worden gebruikt:

•Denkmodel of conceptueel model: dit is een abstracte voorstelling of een idee om een verschijnsel te verklaren. Voorbeelden zijn het deeltjesmodel en het atoommodel van Bohr. Een denkmodel kan bijvoorbeeld zijn dat de zwaartekracht van de zon ervoor zorgt dat planeten in hun baan blijven.

•Schaalmodel: dit is een fysieke representatie van de werkelijkheid op een kleinere of grotere schaal. Het planetarium in Franeker, dat de banen van planeten rond de zon weergeeft, is een voorbeeld van een schaalmodel.

•Rekenkundig model: dit model beschrijft een theorie of verschijnsel met formules en vergelijkingen. Met de formule voor de gravitatiekracht kan bijvoorbeeld de kracht op verschillende planeten worden uitgerekend, wat informatie geeft over hun banen.

•Computermodel: dit is een rekenkundig model dat op de computer wordt uitgevoerd. Het berekent stap voor stap een simulatie, bijvoorbeeld de baan van een planeet over honderden jaren, door conceptuele theorieën en formules te gebruiken.

Wat is modelleren?

Modelleren is de vaardigheid om rekenkundige modellen op de computer uit te werken en te begrijpen. Het omvat het maken van een numeriek model op de computer.

Hoe is een numeriek model opgebouwd?

Een numeriek model is een specifiek computermodel dat op basis van vergelijkingen berekent hoe grootheden in de tijd veranderen. Het benadert de werkelijkheid lineair, wat betekent dat het stap voor stap werkt met een bepaalde stapgrootte (dt of\Delta t). Deze dt is een klein stapje in de tijd. Het model bestaat uit twee hoofdonderdelen: beginvoorwaarden en modelvergelijkingen.

Beginvoorwaarden voor numeriek modelleren

Beginvoorwaarden, ook wel startwaarden genoemd, zijn nodig om een numeriek model op gang te brengen. Ze omvatten:

•Constanten: waarden die gedurende het model niet veranderen, zoals de massa (M) van een object.

•Variabelen met startwaarden: variabelen die aan het begin van de simulatie een specifieke waarde krijgen, zoals de startpositie (X) en de startsnelheid (V).

•Stapgrootte (dt): de grootte van de tijdstap voor elke iteratie.

Stel, de beginvoorwaarden zijn als volgt ingevoerd (eenheden ontbreken, omdat computerprogramma's vaak uitgaan van standaard SI-eenheden):

•M = 1000

•FVW = 100

•V = 15

•X = 0

•dt = 0.5

De nauwkeurigheid van het model neemt toe naarmate de stapgrootte (dt) kleiner wordt, omdat er meer kleine tussenstapjes worden gezet. Dit vereist echter ook meer rekencapaciteit.

Welke modelvergelijkingen worden gebruikt?

Modelvergelijkingen zijn de formules en instructies die beschrijven hoe de grootheden in het model veranderen. Deze kunnen soms op verschillende manieren worden opgeschreven, afhankelijk van het programma (bijvoorbeeldA = A + Bof$A := A + B$). Bekende natuurkundige formules worden hiervoor vaak herschreven. Zo wordt de formuleF_{res}=m\cdot aomgeschreven naarA=\frac{F_{res}}{m}, zodat de versnelling direct berekend kan worden. Ook kunnen instructies zoals\texttt{als... dan... eind als}worden ingevoegd om bijvoorbeeld een stopconditie in te stellen. Een voorbeeld van zo'n instructie is: ‘als de snelheid groter is dan 100\text{m/s}, dan stop’.

Iteratief proces

Een numeriek model is een iteratief proces, wat betekent dat de totale tijdsduur wordt verdeeld in stappen. Voor elke stap wordt de gehele rekencyclus opnieuw doorlopen. De stapgrootte (dt of\Delta t) bepaalt met welke waarde de tijd in elke rekencyclus wordt opgehoogd. Hoe kleiner de stapgrootte, hoe dichter het model bij de werkelijkheid komt, maar hoe meer rekencapaciteit er nodig is.

Het iteratieve proces stopt onder een stopconditie. Dit kan zijn:

•Wanneer een vooraf ingesteld aantal iteraties is bereikt (bijvoorbeeld 500 stapjes).

•Wanneer een bepaalde voorwaarde is voldaan (bijvoorbeeld de snelheid is groter dan 100 m/s).

•Wanneer er een fout in het model optreedt.

Wat zijn de verschillen tussen een tekstmodel en een grafisch model?

Numerieke modellen kunnen op twee manieren worden weergegeven: als een tekstmodel of als een grafisch model. Beide modellen beschrijven hetzelfde proces, maar op een andere visuele manier.

Tekstmodel

Een tekstmodel is een weergave van de modelregels in platte tekst, vergelijkbaar met programmeercode. Het toont de opeenvolgende stappen en formules die het model doorloopt.

Notaties tekstmodel

In een tekstmodel worden specifieke notaties gebruikt voor wiskundige bewerkingen:

•Vermenigvuldigen: * (sterretje)

•Machten: E of ^ (dakje). Bijvoorbeeld, 4E-5 betekent4\cdot10^{-5}env^2betekentvtot de tweede macht.

•Worteltrekken: SQRT(waarde), bijvoorbeeld SQRT(9) voor de wortel van negen.

•Opmerkingen: Een ' (apostrof) wordt gebruikt om commentaar toe te voegen dat niet door het model wordt verwerkt.

Het is belangrijk te letten op hoofdletters en kleine letters, aangezien deze in natuurkundige formules en modellen vaak een verschillende betekenis hebben.

Grafisch model

Een grafisch model is een visuele weergave van een numeriek model, vaak in de vorm van een stroomdiagram met blokken en pijlen. Het toont hoe verschillende grootheden en variabelen met elkaar in verband staan en hoe ze elkaar beïnvloeden binnen het model.

In een grafisch model worden verschillende symbolen gebruikt:

•Constanten: worden vaak weergegeven als kleine rondjes met een streepje erdoor. Dit zijn waarden die niet veranderen gedurende de simulatie (bijvoorbeeld massa en krachtconstante).

•Toestandsvariabelen: worden vaak weergegeven als rechthoekjes. Dit zijn variabelen die afhankelijk zijn van andere grootheden en die elke iteratie opnieuw worden berekend (bijvoorbeeld snelheid en uitwijking).

•Hulpvariabelen: worden vaak weergegeven als een cirkel. Dit zijn variabelen (zoals resulterende kracht en versnelling) die gebruikt worden om de toestandsvariabelen uit te rekenen.

Op het eindexamen worden doorgaans zowel tekstmodellen als grafische modellen aangeboden.