Wat is numeriek modelleren?

Numeriek modelleren is het proces waarbij je de werkelijkheid nabootst met behulp van een numeriek model. Een numeriek model berekent stap voor stap hoe grootheden in de tijd veranderen, door de werkelijkheid lineair te benaderen. Net als natuurwetten en andere modellen zijn numerieke modellen altijd vereenvoudigingen van de werkelijkheid.

Belangrijke natuurkundige principes die hierbij een rol spelen zijn:

• Universaliteit: Wetmatigheden moeten overal en altijd hetzelfde resultaat geven, ongeacht omstandigheden.
• Schaalonafhankelijkheid: Natuurwetten gelden zowel voor grote als kleine schalen.
• Orde van grootte: Dit is de macht van 10 die het dichtst bij een waarde ligt (bijvoorbeeld 1,75 meter is $10^0$ meter).
• Analogie: Een vergelijking met iets bekends om een concept te verduidelijken (bijvoorbeeld elektriciteit met vrachtwagens).

Numeriek modelleren is een van de vier soorten modellen die in de natuurkunde worden onderscheiden:

• Denkmodel: Een conceptueel model dat helpt bij het begrijpen van een fenomeen.
• Schaalmodel: Een verkleinde of vergrote fysieke weergave van de werkelijkheid (bijvoorbeeld een kleine auto).
• Numeriek of rekenkundig model: Dit type model berekent stap voor stap hoe grootheden in de tijd veranderen, gebaseerd op vergelijkingen.
• Computermodel: Vaak gebruikt voor complexe numerieke modellen die veel rekenstappen en capaciteit vereisen (bijvoorbeeld met programma's zoals Coach of Python).

Onderwerpen waarvoor numeriek modelleren vaak wordt gebruikt, zijn:

• Trillingsverschijnselen (harmonische trillingen, zoals $F = -c \cdot u$)
• Kracht en beweging (analyse van krachten leidt tot beweging)
• Gravitatie (beweging van hemellichamen in een gravitatieveld)

De opbouw van een numeriek model omvat de volgende onderdelen:

• Beginvoorwaarden: Constanten (zoals massa) en variabelen (zoals positie, snelheid) met hun startwaarden (vaak in SI-eenheden).
• Modelvergelijkingen: Formules en instructies die iteratief (stap voor stap) worden doorlopen.
• Stapgrootte ($\Delta t$ of $dt$): Hoe kleiner de stapgrootte, hoe nauwkeuriger het model, maar ook hoe meer rekencapaciteit nodig is.
• Stopconditie: De voorwaarde waaronder het model stopt (bijvoorbeeld na een bepaald aantal iteraties, of als een specifieke voorwaarde is bereikt, zoals $v \le 0$).

Notaties die vaak in modellen worden gebruikt:

• Vermenigvuldigen: *
• Machten: E (bijvoorbeeld $4 \cdot 10^{-5}$ als 4E-5) of ^ (bijvoorbeeld $2^5$ als 2^5)
• Worteltrekken: SQRT
• Opmerkingen: achter een komma ,

Bij een grafisch model worden constanten (massa, veerconstante) vaak in een rondje met een streepje weergegeven, toestandsvariabelen (snelheid, uitwijking) als vierkantjes, en hulpvariabelen (versnelling) als rondjes.

Numerieke modellen kunnen worden ingedeeld in:

• Eerste orde modellen: Deze hebben één dynamische grootheid met één vergelijking (bijvoorbeeld radioactief verval: $dN = -A \cdot dt$).
• Tweede orde modellen: Deze hebben twee gekoppelde dynamische grootheden (bijvoorbeeld beweging: $dv = a \cdot dt$ en $dx = v \cdot dt$).