Hoe los je ongelijkheden op?

Het oplossen van ongelijkheden lijkt veel op het oplossen van vergelijkingen, maar er zijn een paar belangrijke verschillen, vooral wanneer je vermenigvuldigt of deelt met een negatief getal. Het doel is om de waarden van de variabele (meestal $x$) te vinden waarvoor de ongelijkheid waar is. Dit resulteert vaak in een bereik van waarden in plaats van één specifiek getal.

Hier zijn de algemene stappen voor het oplossen van ongelijkheden:

1. Vereenvoudig beide kanten: Voeg gelijksoortige termen samen aan beide kanten van de ongelijkheid.
2. Isoleer de variabele: Gebruik de balansmethode om alle termen met de variabele naar één kant van de ongelijkheid te brengen en alle constante getallen naar de andere kant. Wat je aan de ene kant doet, moet je ook aan de andere kant doen.
3. Let op bij vermenigvuldigen of delen met negatieve getallen: Dit is het belangrijkste verschil met vergelijkingen. Als je beide kanten van een ongelijkheid vermenigvuldigt of deelt door een negatief getal, moet je het ongelijkheidsteken omdraaien.
   • Als je > had, wordt het <.
   • Als je < had, wordt het >.
   • Als je $\ge$ had, wordt het $\le$.
   • Als je $\le$ had, wordt het $\ge$.
4. Schrijf de oplossing op: De oplossing is meestal een interval van waarden.

Voorbeeld: Los de ongelijkheid $3x - 5 < 7$ op.

1. Vereenvoudigen: Er is niets te vereenvoudigen aan beide kanten.
2. Isoleer de variabele:
   • Tel 5 op aan beide kanten: $3x - 5 + 5 < 7 + 5$ $3x < 12$
3. Oplossen:
   • Deel beide kanten door 3 (een positief getal, dus het teken blijft hetzelfde): $\frac{3x}{3} < \frac{12}{3}$ $x < 4$

De oplossing is dus $x < 4$. Dit betekent dat elke waarde van $x$ die kleiner is dan 4, de ongelijkheid waar maakt.

Voorbeeld met omdraaien van het teken: Los de ongelijkheid $-2x + 1 \ge 9$ op.

1. Vereenvoudigen: Er is niets te vereenvoudigen.
2. Isoleer de variabele:
   • Trek 1 af van beide kanten: $-2x + 1 - 1 \ge 9 - 1$ $-2x \ge 8$
3. Oplossen:
   • Deel beide kanten door -2 (een negatief getal, dus het teken moet omgedraaid worden): $\frac{-2x}{-2} \le \frac{8}{-2}$ (Let op: $\ge$ wordt $\le$) $x \le -4$

De oplossing is dus $x \le -4$. Dit betekent dat elke waarde van $x$ die kleiner is dan of gelijk is aan -4, de ongelijkheid waar maakt.